Інтегрування раціональних функцій

Розглянемо невизначені інтеграли, які мають вигляд де R(x) – правильний раціональний дріб, тобто

Знаходження указаних інтегралів побудовано на розкладанні раціонального дробу у суму елементарних дробів, тобто дробів, які мають вигляд

де α, β – натуральні числа; a, p, q, A, B, C – дійсні числа ; p²-4q<0 (корені тричлена є комплексними).

6. Інтегрування деяких тригонометричних виразів

6.1. Інтеграли виду

за допомогою тригонометричних формул

зводяться до інтегралів

6.2. Невизначені інтеграли виду де m і n – натуральні числа, обчислюються за допомогою тригонометричних формул якщо m і n парні.

Якщо хоча б одно з чисел m і n – непарне, то від непарного степеня відділяється множник і вводиться нова змінна. Зокрема, якщо n=2k+1, то

Останній інтеграл знаходиться безпосередньо (як інтеграл від алгебраїчного многочлена).

6.3. Невизначений інтеграл де – раціональна функція від sinx і cosx, шляхом введення нової змінної за формулою (універсальна тригонометрична підстановка) зводиться до інтегралу

де R₁(t) – раціональний дріб.

7. Інтегрування деяких алгебраїчних ірраціональностей

7.1. Інтеграли виду (n - натуральне число), де -раціональна функція від х і , обчислюються за допомогою підстановки x=tⁿ (n - найменше спільне кратне показників всіх коренів, під якими х входить в підінтегральну функцію), яка раціоналізує даний інтеграл, тобто зводить його до інтегралу від раціонального дробу.

7.2. Інтеграли виду ( n- натуральне число) раціоналізуються підстановкою (n- найменше спільне кратне показників всіх коренів, під якими входить в підінтегральну функцію).

7.3. Інтеграли вигляду

“тригонометричними підстановками” зводяться до інтегралів функцій, раціонально залежних від синуса і косинуса. Для цього достатньо:

1) в інтегралі зробити підстановку (або );

2) в інтегралі зробити підстановку (або );

3) в інтегралі зробити підстановку (або ).

Слід мати на увазі, що в завданні № 1 наведено приклади на різні методи інтегрування, які треба обрати самостійно. Для отримання відповідних навичок необхідно опрацювати рекомендовану вище літературу.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Метод інтегрування підстановкою (заміною змінної)	\|	ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ ДО ЗАВДАНЬ № 4,5,6

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.