• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Для системи неперервних випадкових величин

j(х,у) dx dy,(3.13)

де j(х,у)-щільність розподілу системи двох випадкових величин Х та Y.

В практичній діяльності найчастіше використовують початкові моменти першого порядку при s = 1, q = 0 і s = 0, q = 1згідно з формулами (3.11) і (2.15):

;(3.14)

. (3.15)

Як видно із формул (3.14) і (3.15) початковими моментами першого порядку будуть математичні сподівання випадкових величин Х і Y. Вони визначають координати точки, яку називають центром розсіювання системи (Х, Y)на площині.

Центральним моментом m_sqпорядку s,q системи (Х, Y) називається математичне сподівання добутку центрованих величин (Х – М_x) і (Y – M_y) відповідно в s-му і q-му степенях.

m_sq = М [(X – M_x)^S (Y – M_y)^q ]. (3.16)

Для системи дискретних і неперервних величин отримаємо:

m_sq= ;(3.17)

m_sq= j(х,у) dx dy. (3.18)

Практичне значення мають центральні моменти другого порядку при s = 2 і q = 0 та s = 0 і q = 2:

m₂₀ = М [(X – M_x)² (Y – M_y)⁰ ] = М [(X – M_x)²] = D_x; (3.19)

m₀₂ = М [(X – M_x)⁰ (Y – M_y)² ] = М [(Y – M_y)²] = D_y. (3.20)

Як видно вони є дисперсіями випадкових величин Х та Y і характеризують розсіювання випадкової точки з координатами (х, у) в напрямку осей 0хі 0y.

При дослідженнях системи випадкових величин важливу роль має змішаний центральний момент першого порядку -m₁₁. Його називають кореляційним моментом K_ху або моментом зв’язку і визначають за формулою

m₁₁ = K_ху = М [(X – M_x) (Y – M_y)].(3.21)

Для системи дискретних та неперервних величин його визначають за формулами

; (3.22)

K_ху= j(х,у) dx dy. (3.23)

В § 2 цього розділу показано, що між випадковими величинами Х і Y може виникати зв’язок. Кореляційний момент K_ху і характеризує силу або щільність зв’язку. Відомо, якщо між випадковими величинами існує ймовірний зв’язок (залежність), то зі зміною випадкової величини Х змінюється закон розподілу випадкової величини Y. В той же час закон розподілу задають кривою розподілу у = f(x). Характер кривих може бути різним, тому і відрізняють декілька типів імовірної залежності. Одним із найбільш розповсюджених типів є кореляційна залежність, за якої заміна аргументу х призводить до зміни математичного сподівання величини y (рис.3.3). В першому випадку (рис.3.3,а) ми маємо прямолінійну кореляцію, а на рис.3.3,б – криволінійну. При дослідженнях можуть виникнути й інші типи кореляційної залежності.

а б

Рис.3.3

Кореляційну залежність часто називають кореляцією. Як видно із формули (3.22) кореляційний момент має розмірність, яка залежить від розмірності випадкових величин Х і Y. Тому для оцінки сили зв’язку між випадковими величинами системи (Х, Y) використовують не коефіцієнт зв’язку K_ху, а безрозмірне відношення

, (3.24)

яке називають коефіцієнтом кореляції випадкових величин Х і Y.

Коефіцієнт кореляції змінюється в межах від -1 до +1, тобто

.

Якщо r > 0, то маємо позитивну кореляцію, тобто із збільшенням абсциси x, збільшується величина ординати y (рис.3.3,а) і навпаки при r < 0 .

Якщо випадкові величини Х і Y незалежні, то кореляційний момент і коефіцієнт кореляції дорівнює нулю, тобто K_ху = 0 і r_xy = 0.

Дві корельовані випадкові величини завжди є взаємозалежними, але дві залежні величини не завжди є корельованими. Прикладом цього може бути система випадкових величин (Х, Y) рівномірно розподілена в межах кола з центром на початку координат. Розрахунки показують, що величини Х і Y залежні, а кореляційний момент K_ху = 0, а це означає, що і r_xy = 0 [15, с.125].

Випадкові величини Х і Y називають корельованими, якщо | r_xy| > 0 і при r_xy = 0 – некорельованими.

Коли коефіцієнт кореляції дорівнює +1 чи -1, то між величинами Х і Y існує прямолінійна залежність у вигляді рівняння прямої

у = ах + b.

Форма прямолінійного зв’язку між випадковими величинами Х і Y визначається у вигляді рівняння регресії Y на Х:

у = М_y+(х – М_x), (3.25)

і Х на Y

x = М_x + ( y – М_y). (3.26)

Коефіцієнти регресії і визначають за формулами

;, (3.27)

де значення r, s_x, s_y обчислюють за формулами (2.28), (3.24).

Приклад 1. Для системи випадкових величин (х₁=1;х₂ = 2; х₃ = 3; х₄ = 4; у₁ = 0,8; у₂ = 2,1; у₃ = 2,7; у₄ = 4,2) при ймовірностях їх появи = 0,25; = 0,25 знайти:

а) початкові моменти першого порядку при s = 1, q = 0is = 0, q= 1;

б)центральні моменти приs = 2, q = 0is = 0, q = 2;

в) обчислити кореляційний момент K_ху та коефіцієнт кореляції r_xy;

г) знайти рівняння регресії Y та Х.

Розв’язання. а) Початковими моментами величин Хта Y будуть їх математичні сподівання. За формулами (3.14), (3.15) та (2.15) обчислюємо:

α₁₀ = М_x = = 1 × 0,25 + 2 × 0,25 + 3 × 0,25 + 4 × 0,25 = 2,5;

α₀₁ = М_y = = 0,8 × 0,25 + 2,1 × 0,25 + 2,7 × 0,25 + 4,2 × 0,25 = 2,45.

б) Центральні моменти при s = 2, q = 0 i s = 0, q = 2обчислюють за формулами (3.19), (3.20) та (2.27):

m₂₀ = D_x = = [(-1,5)² + (-0,5)² + (0,5)² + (1,5)²] ´ 0,25 = 1,25;

m₀₂ = D_y = = [(-1,65)² + (-0,35)² + (0,25)² + (1,75)²] 0,25 = 1,46.

в) Для визначення кореляційного моменту за формулою (3.22) обчислимо ймовірності прийняття системою (х, у) значень (х_і, у_і). Так як випадкові величини Х та Y з'являються одночасно і мають однакові значення ймовірностей = 0,25 і = 0,25, то за формулою добутку ймовірностей маємо

= × .

Тоді

m₁₁ = K_ху=[(-1,5)(-1,65) + (-0,5)(-0,35) +

+ 0,5 × 0,25 + 1,5 × 1,75] × 0,062 = 0,33.

В пункті б) знайдено D_xі D_y, тоді стандарти будуть дорівнювати:

= 1,1; = 1,2.

Читайте також:

1. I. Органи і системи, що забезпечують функцію виділення
2. I. Особливості аферентних і еферентних шляхів вегетативного і соматичного відділів нервової системи
3. II. Анатомічний склад лімфатичної системи
4. IV. Розподіл нервової системи
5. IV. Система зв’язків всередині центральної нервової системи
6. IV. Філогенез кровоносної системи
7. POS-системи
8. T. Сутність, етіологія та патогенез порушень опорно-рухової системи
9. VI. Філогенез нервової системи
10. А) Заробітна плата її форми та системи.
11. А) Заробітна плата, її форми та системи.
12. А) оптимальне значення величини зварювального струму; б) підвищене значення величини зварювального струму; в) низьке значення величини зварювального струму.

Переглядів: 739