• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Екстремуми функцій багатьох змінних. Умовний екстремум.

Нехай функція z=f(x;y) визначена в деякій області точки (х₀,у₀). Кажуть, що функція z=f(x;y) має в точці (х₀,у₀) строгий максимум (мінімум), якщо f(x;y)<f(x₀;y₀) (f(x;y)>f(x₀;y₀)) для всіх точок (х;у), достатньо близьких до х₀, у_0. Точка (х₀,у₀) – точка максимуму (мінімуму).

Максимум і мінімум функції називають екстремумами функціями.

Теорема 1 (необхідні умови екстремуму).

Якщо диференційована функція z=f(x;y) має екстремум в точці Р₀ (х₀,у₀), то її частинні похідні першого порядку в цій точці дорівнюють нулю, тобто , .

Теорема 2 (достатні умови існування екстремуму).

Нехай функція z=f(x;y) неперервна в D(f) разом зі своїми частинними похідними першого і другого порядків і точка Р₀(х₀,у₀) є критичною.

Знайдемо в точці Р₀ похідні другого порядку і позначимо:

, , .

Якщо AC-B²>0, то функція має в точці Р₀(х₀,у₀) екстремум: максимум якщо А<0 і мінімум якщо А>0.

Якщо АС-B²<0, то в точці Р₀(х₀,у₀) екстремуму немає.

Якщо АС-В²=0, то висновок про екстремум зробити не можна.

Приклад.Дослідити на екстремум функцію z=xy-x²-2y²+x+10y-8.

1. Знайдемо частинні похідні:

Прирівняємо частинні похідні до нуля і складемо систему

Знайдемо із першого рівняння у=2х-1 і підставимо у друге:

х = 2, у=3

2. Знайдемо частинні похідні другого порядку:

Як бачимо, частинні похідні другого порядку дорівнюють сталим числам в будь-який точці, а значить і в точці Р₀(2;3). Тому А=-2, В=1, С=-4.

АС-В²=(-2)(-4)-1=7>0.

Таким чином, в точці Р₀ (2;3) функція має максимум

Читайте також:

1. Аденогіпофіз, його гормони, механізм впливу, прояви гіпер- та гіпофункцій.
2. Аутентифікація з використанням односторонніх функцій
3. Вага системи функцій
4. Важкість праці: Динамічні, статичні навантаження. Напруженість праці. Увага, напруженість аналізаторних функцій, емоційна та інтелектуальна напруженість, монотонність праці.
5. Види внутрішніх функцій держави
6. Види договорів і контрактів. Розподіл функцій учасників проекту
7. Види зовнішніх функцій
8. Види функцій державного управління
9. Види функцій державного управління
10. Визначення структур та структурних змінних.
11. Виконання лінійної регресії за допомогою функцій Excel
12. Використання логічних функцій в EXCEL

Переглядів: 3184