Системою т лінійних алгебраїчних рівнянь з п невідомими називається система вигляду
(4.1)
де числа , , називаються коефіцієнтами системи, числа – вільними членами; – невідомі.
Матриця
,
складена з коефіцієнтів при невідомих системи (4.1), називається матрицею або основною матрицею системи, а матриця
,
отримана з матриці дописуванням стовпця з вільних членів, називається розширеною матрицею системи.
Систему (4.1) зручно записувати в матричній формі:
,
де – матриця системи,
– матриця-стовпчик з невідомих ,
– матриця-стовпчик з вільних членів .
Добуток матриць визначений, так як матриця узгоджена з матрицею .
Впорядкована система чисел називається розв’язком системи (4.1), якщо кожне з рівнянь системи перетворюється в правильну рівність після підстановки замість відповідних чисел .
Розв’язок можна записати у вигляді матриці-стовпця
.
Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має жодного розв’язку.
Сумісна система називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок і невизначеною, якщо вона має більше одного розв’язку. В останньому випадку кожний її розв’язок називається частинним розв’язком системи. Сукупність всіх частинних розв’язків системи називається загальним розв’язком.
Розв’язати систему – означає вияснити, сумісна вона чи несумісна, і у випадку сумісності знайти її загальний розв’язок.
Дві системи називаються еквівалентними (рівносильними), якщовони мають один і той же загальний розв’язок.
Система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо всі вільні члени рівні нулю:
(4.2)
Однорідна система завжди сумісна, так як
є розв’язком системи. Цей розв’язок називається нульовим або тривіальним.
Система (4.2), крім тривіального, може мати і інші розв’язки (нетривіальні).
Елементарними перетвореннями системи назвемо наступні перетворення:
1) множення деякого рівняння системи на число відмінне від нуля;
2) додавання до одного рівняння системи іншого рівняння, помноженого на довільне число;
3) перестановка місцями двох рівнянь системи.
При елементарних перетвореннях системи відповідні елементарні перетворення зручно виконувати над рядками розширеної матриці системи.