• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Розв’язання невироджених лінійних систем

Нехай дана система п лінійних рівнянь з п невідомими:

(4.3)

або в матричній формі .

Основна матриця А такої системи квадратна. Визначник цієї матриці

називається визначником системи (4.3).

Якщо визначник системи відмінний від нуля, то система називається невиродженою, в протилежному випадку – виродженою.

Знайдемо розв’язок даної системи рівнянь у випадку, коли . В цьому випадку для матриці А існує обернена матриця .

Помножимо обидві частини рівняння зліва на матрицю , отримаємо . Оскільки і , то

. (4.4)

Знаходження розв’язку системи за формулою (4.4) називають матричним способом розв’язку системи.

Матричну рівність (4.4) запишемо у вигляді

,

тобто

.

Звідси випливає, що

;

;

………………………………..

.

Сума є розкладом визначника

за елементами першого стовпчика. Визначник отримується з визначника шляхом заміни першого стовпчика стовпчиком вільних членів.

Таким чином, .

Аналогічно: , де – отриманий з шляхом заміни другого стовпчика коефіцієнтів стовпчиком вільних членів; ,…,.

Формули

, (4.5)

називаються формулами Крамера.

Таким чином, невироджена система п лінійних рівнянь з п невідомими має єдиний розв’язок, який може бути знайденим матричним способом (4.4) або за формулами Крамера (4.5).

Приклад 4.1.Розв’язати систему рівнянь

а) матричним способом; б) за формулами Крамера.

Розв’язок. а) Матриця системи має вигляд:

.

Знайдемо

Отже, система невироджена.

Обернена матриця

.

Знайдемо алгебраїчні доповнення елементів матриці А:

Тоді

.

За формулою (4.4)

Перевірка:

Відповідь:

б) За формулами (4.5) ; ; .

Знайдемо

;

Таким чином, ; ;

Відповідь: t

Читайте також:

1. Active-HDL як сучасна система автоматизованого проектування ВІС.
2. I. Органи і системи, що забезпечують функцію виділення
3. I. Особливості аферентних і еферентних шляхів вегетативного і соматичного відділів нервової системи
4. II. Анатомічний склад лімфатичної системи
5. II. Бреттон-Вудська система (створена в 1944 р.)
6. II. Критерій найбільших лінійних деформацій
7. III етап. Системний підхід
8. IV. Перевірка розв’язання і відповідь
9. IV. Розподіл нервової системи
10. IV. Система зв’язків всередині центральної нервової системи
11. IV. УЗАГАЛЬНЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ ВИВЧЕНОГО
12. IV. Філогенез кровоносної системи

Переглядів: 525