Нехай дана система п лінійних рівнянь з п невідомими:
(4.3)
або в матричній формі .
Основна матриця А такої системи квадратна. Визначник цієї матриці
називається визначником системи (4.3).
Якщо визначник системи відмінний від нуля, то система називається невиродженою, в протилежному випадку – виродженою.
Знайдемо розв’язок даної системи рівнянь у випадку, коли . В цьому випадку для матриці А існує обернена матриця .
Помножимо обидві частини рівняння зліва на матрицю , отримаємо . Оскільки і , то
. (4.4)
Знаходження розв’язку системи за формулою (4.4) називають матричним способом розв’язку системи.
Матричну рівність (4.4) запишемо у вигляді
,
тобто
.
Звідси випливає, що
;
;
………………………………..
.
Сума є розкладом визначника
за елементами першого стовпчика. Визначник отримується з визначника шляхом заміни першого стовпчика стовпчиком вільних членів.
Таким чином, .
Аналогічно: , де – отриманий з шляхом заміни другого стовпчика коефіцієнтів стовпчиком вільних членів; ,…,.
Формули
, (4.5)
називаються формулами Крамера.
Таким чином, невироджена система п лінійних рівнянь з п невідомими має єдиний розв’язок, який може бути знайденим матричним способом (4.4) або за формулами Крамера (4.5).
Приклад 4.1.Розв’язати систему рівнянь
а) матричним способом; б) за формулами Крамера.
Розв’язок. а) Матриця системи має вигляд:
.
Знайдемо
Отже, система невироджена.
Обернена матриця
.
Знайдемо алгебраїчні доповнення елементів матриці А: