8.1 Скласти рівняння прямої, що проходить через точку і:
а) перпендикулярна до вектора ; б) паралельна до вектора ; в) утворює з віссю кут ; г) точку .
8.2. Вказати особливості розташування прямих на площині:
1) ; 3) ; 5) ;
2) ; 4) ; 6) .
8.3. Дано вершини трикутника . Знайти:
а) рівняння сторони ; б) рівняння та довжину висоти ; в) рівняння та довжину медіани ; г) точку перетину висоти і медіани ; д) рівняння прямої , що проходить через точку паралельно стороні.
Розв’язок. а) рівняння сторони складемо, використовуючи рівняння (8.13) – прямої, що проходить через дві точки:
що рівносильно
або
– канонічне рівняння прямої ().
Запишемо рівняння прямої в загальному вигляді: , ().
Запишемо рівняння прямої у вигляді рівняння з кутовим коефіцієнтом: , .
б) Щоб записати рівняння висоти , використаємо умову перпендикулярності прямих і : . Отримаємо: . Запишемо рівняння прямої , що проходить через задану точку з заданим кутовим коефіцієнтом (8.9): , тобто або
.
Довжину висоти знайдемо як відстань від точки до прямої , використавши формулу (8.24):
в) Щоб записати рівняння медіани , знайдемо координати точки М як середини відрізка і скористаємося рівнянням (8.13).
Так як
, ,
то
, ,
тобто . Тоді рівняння медіани матиме вигляд:
,
що рівносильно
або .
Знайдемо довжину медіани як відстань між двома точками:
.
г) Знайдемо точку перетину висоти і медіани . Для цього розв’яжемо систему їх рівнянь:
.
Отримаємо ; , тобто .
д) Щоб записати рівняння прямої , що проходить через точку паралельно стороні, використаємо умову їх паралельності – і рівняння (8.9) – . Отримаємо: або . t
8.4. Знайти кут між двома прямими:
1) і ; 3) і ;
2) і ; 4) і .
8.5. Знайти відстань між двома паралельними прямими і .