Діагональна матриця, всі не нульові елементи якої рівні між собою, називається скалярною. Її можна представити як одиничну, помножену на скаляр, тобто
Означення. Транспонування матриці А називається операція заміни рядків цієї матриці її стовпцями із збереженням їхніх номерів.
Матриця, отримана таким чином з матриці А, називається транспонованою відносно матриці А та позначається AT або At.
Отже, нехай задано матрицю А розміром (m ´ n):
.
Переставимо в ній рядки зі стовпцями із збереженням їхніх номерів.
At =
Таким чином отримаємо транспоновану матрицю відносно матриці А. Зазначимо, якщо вихідна матриця А має розміри (m ´ n), то транспонована відносно матриці А (Аt) буде мати розміри (n ´ m). У частковому випадку для вектора-рядка транспонованою матрицею буде вектор-стовпець.
Транспонована матриця має такі властивості.
1. Двічі транспонована матриця є вихідною.
Att = (At)t = A.
2. Транспонована матриця суми дорівнює сумі транспонованих матриць доданків, тобто
(A + B)t = At + Bt.
3. Транспонована матриця добутку дорівнює добутку транспонованих матриць-співмножників, взятих у зворотному порядку, тобто