• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Невизначена система.

Розв’язування лінійних рівнянь за допомогою оберненої матриці.

Знаходимо обернену матрицю зав допомогою методу виключення:

_

_ .

Рішення рівняння АХ = В можна представити через обернену матрицю

Х = А^-1 В. Звідси:

Х = __ ;

_;

_;

_.

У загальному випадку, коли число рівнянь m не дорівнює числу невідомих n, також можемо провести процедуру виключення, причому у процесі її реалізації виявляється і характер системи. Перетворення розширеної матриці системи також проводять за допомогою методу Гауса - Жордана.

При розв’язанні систем лінійних алгебраїчних рівнянь досить часто виявляється, що визначник матриці коефіцієнтів системи перетворюється в нуль або число рівнянь m не дорівнює числу невідомих n, тобто m ¹ n. У зв’язку з визначеним необхідно зауважити, що розв’язування будь-якої системи лінійних алгебраїчних рівнянь повинно починатися із з’ясування питання про сумісність. Отже, розв’язки системи рівнянь повинні починатися з досліджень за схемою:

1. Дослідити, вихідна система рівнянь є сумісною чи несумісною (тобто, чи має вихідна система розв’язки взагалі).

2. Якщо вихідна система сумісна, то необхідно дослідити: має така система єдиний розв’язок чи їх незчисленна множина.

3. Якщо сумісна система має незчисленну множину розв’язків, то необхідно описати усю сукупність розв’язків.

Питання про сумісність системи лінійних алгебраїчних рівнянь розв’язує теорема Кронекера-Капеллі.. На відміну від теореми Крамера, ця теорема не є конструктивною, оскільки вона не дає співвідношення для визначення коренів системи рівнянь, Проте вона має дуже велике значення.

Теорема Кронекера-Капеллі. Система лінійних алгебраїчних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг матриці коефіцієнтів систем рівнянь дорівнює рангу розширеної матриці: r(A) = r(_).

Приклад. Виконати загальне дослідження системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Розв’язок

1. Випишемо розширену матрицю системи і виконаємо відповідні гауссові виключення.

_ = _.

_ __

_

__.

2. На підставі аналізу матриці

можна зауважити, що:

· r(A) = 2; r(_) = 2, таким чином, r(A) = r(_), і вихідна система сумісна;

· r = 2; n = 4, отже, вихідна система буде мати незчисленну множину розв’язків, і завдання її дослідження буде полягати в тому, щоб описати цю множину;

· вихідна система буде мати дві (r = 2) базові змінні і дві (n - r = 4 - 2 = 2) вільні змінні.

3. На підставі матриці

_

можна записати еквівалентну систему відносно вихідної:

_

Очевидно, що за базисні змінна слід прийняти змінні х₁ та х₂, а вільними будуть змінні х₃ та х₄ .

4. Опишемо деяку сукупність частинних розв’язків. Для цього вільним мінним (х₃ , х₄ ) надамо деякі числові значення і обчислимо значення базисних змінних (х₁, х₂). Результати внесемо до таблиці.

Читайте також:

1. Агроценоз як система.
2. Банківська система.
3. Бюджет і бюджетна система.
4. Бюджет і бюджетна система.
5. Бюджетний устрій та бюджетна система.
6. Бюджетний устрійпоказує, в який спосіб побудована бюджетна система. Іншими словами,він відображає організацію вертикальної структури бюджету держави за рівнями влади.
7. Виборча система.
8. Виховна справа як система.
9. Гіпотоламо-гіпофізарна система. Роль ліберинів і статинів.
10. Горизонтальна маркетингова система.
11. Дихальна система.
12. Еволюція світової валютної системи. Паризька валютна система. Генуезька валютна система. Бреттон-Вудська валютна система. Ямайська валютна система. Європейська валютна система.

Переглядів: 2038