Подія А називається незалежною в даній серії випробувань, якщо її ймовірність у кожному з них не залежить від наслідків інших випробувань. Серія повторних незалежних випробувань, у кожному з яких дана подія А має одну й ту саму ймовірність Р (А) = р, що не залежить від номера випробування, називається схемою Бернуллі.
Ймовірність того, що при n-разовому проведенні випробування подія А відбувається рівно k разів (0kn), визначається за формулою
, (17)
яка називається формулою Бернуллі. При цьому q — ймовірність події . Подія А розглядається як успіх, а — як невдача.
Для знаходження найімовірнішого числа успіхів k0 за заданими n і р можна користуватися нерівностями
(18)
При досить великій кількості випробувань зручно користуватися наближеними формулами Лапласа.
Локальна теорема Лапласа. Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події p(0<p<1), подія настане рівно k раз (незалежно в якій послідовності), наближено дорівнює
, , . (19)
Функція j(х) для додатних значень х табульована, для від’ємних значень x користуються тією ж самою таблицею, оскільки j(х) парна (j(-х)=j(х)), якщо , то .
Інтегральна теорема Лапласа. Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події p(0<p<1), подія настане не менше k1 раз і не більше k2 раз наближено дорівнює
,
де - функція Лапласа,
, (20)
Таблиця функції Лапласа для додатних значень х (табульована для значень х>5 Ф(х)=0,5; для від’ємних значень х користуються цією ж таблицею, враховуючи, що функція Лапласа непарна (Ф(-х)=-Ф(х)).
При досить великому n і малому р використовують наближену формулу Пуассона