Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Основні поняття

а) Скалярний добуток

Введемо у векторному просторі спосіб вимірювання довжин векторів і кутів між ними. Для цього використаємо поняття скалярного добутку.

У звичайному тривимірному просторі скалярним добутком двох векторів називається добуток їх довжин, помножений на косинус кута між ними. Для векторів х та уїх скалярний добуток позначається (х, у). Отже,

(x, y)=(x,y).

Властивості:

1. x, y V [(x, y)=(y, x)]. В комплексному просторі (х, у)=

2. x, y V , [(αx, y)=α(x, y)].

3. x, y, z V [(x+y, z)=(x, z)+(y, z)].

4. x V [(x, x) ≥ 0, причому із (х, х)=0 випливає х=0].

У п - вимірному векторному просторі V вважається заданим скалярний добуток, якщо кожній парі векторів x, y V поставлено у відповідність число (х, у) так, що виконуються умови 1-3.

Векторний простір, в якому заданий скалярний добуток, який задовольняє умовам 1 - 4, називається евклідовим простором.

Із рівностей 1-3 випливають співвідношення:

2′. (x, αy)=(αy,x)=α(y,x)=α(x,y) (V - дійсний),

(x, αy)===(x,y) (V – комплексний),

3′. (z, x+y)=(x+y, z)=(x, z)+(y, z)=(z, x)+(z, y).

Приклад.

Якщо в п – вимірному векторному просторі вибрано деякий базис e=(e₁,e₂,…,e_n), в якому вектори х та у мають наступні розклади:

x=x₁e₁+x₂e₂+…+x_ne_n, y=y₁e₁+y₂e₂+…+y_ne_n,

то їх скалярний добуток визначається рівністю:

(x,y)=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n

(властивості 1-4 перевіряються безпосередньо).

Довжиною вектора х називається корінь квадратний із його скалярного квадрата:

Кут між векторами х та у визначається рівністю

Нерівність Коші-Буняковського.

або або |(x, y)|.

Модуль скалярного добутку двох векторів не перевищує добутку їхніх модулів.

Доведення.

Якщо α – довільне дійсне число , то для вектора х-αу (із умови 4) маємо

(х-αу, х-αу) ≥ 0,

звідки (із 1-3) отримаємо:

(х,х)-2α(х,у)+α²(у,у) ≥ 0.

Отримано квадратний тричлен відносно α. Оскільки він має бути невід’ємним при всіх α, то його дискримінант недодатний, тобто

що й треба довести. ▲

Очевидним є те, що рівність досягається (умова 4) тільки при х-αу=0, тобто х = αу(вектори х та у пропорційні).

Нерівність Коші-Буняковського підтверджує правомірність користування формулою для знаходження cos, оскільки

Вектори х та у, скалярний добуток яких дорівнює нулю, називаються ортогональними.

б) Ортонормований базис

Базис е₁, е₂, ..., е_п евклідового простору називається ортогональним, якщо при .

Якщо, крім того, при і=1, 2, ..., п, то базис називається ортонормованим.

Теорема 1. Ортогональна система векторів лінійно незалежна.

Доведення.

Нехай ненульові вектори х₁, х₂, ..., х_k попарно ортогональні: (х_і,x_j)=0 при Розглянемо рівність

α₁х₁+α₂х₂+...+α_kx_k=0

і доведемо, що всі α_і=0 при і=1, 2, ..., k. Помножимо обидві частини скалярно на х_і, і=1, 2, ..., k. Отримаємо

α₁(х₁,х_і)+α₂(х₂,х_і)+...+ α_k(x_k,x_i)=0,

звідки із врахуванням (x_i,x_j)=0 при та при всіх і=1, 2, ..., k) випливає, що α_і=0 при і=1, 2, ..., k, що й треба довести. ▲

Теорема 2. В кожному евклідовому просторі існують ортонормовані базиси.

Доведення.

Нехай е₁, е₂, ..., е_п – довільний базис простору V. Покладемо

f₁=e₁,

f₂= αf₁+e₂, причому α підберемо так, щоб вектори f₁ і f₂ були ортогональними: (е₂+αf₁,f₁)=(e₂,f₁)+α(f₁,f₁)=0, звідки .

Оскільки , то знаменник Із лінійної незалежності векторів e₁=f₁ та e₂ випливає, що

Припустимо тепер, що попарно ортогональні ненульові вектори

f₁, f₂, …, f_k_-1 вже знайдені. Покладемо

f_k=β₁f₁+β₂f₂+…+β_k_-1f_k_-1+e_k

і підберемо числа β₁, β₂, ..., β_k-1 так, щоб вектор f_k був ортогональним до всіх попередніх f₁, f₂, …, f_k_-1. Для цього потрібно, щоб виконувались рівності

(f_k,f_i)=β_i(f_i,f_i)+(e_k,f_i)=0

при і=1, 2, ..., k-1, звідки

Знаменник , оскільки всі вектори за припущенням. Оскільки вектори е₁, е₂, ..., е_k лінійно незалежні, то і отриманий вектор f_k теж буде ненульовим.

Такий процес продовжуватимемо доти, поки не знайдемо останнього ненульового вектора

f_n=γ₁f₁+γ₂f₂+…+γ_n_-1f_n_-1+e_n,

ортогонального до всіх попередніх векторів f₁, f₂, …, f_n_-1. Згідно теореми 1 ортогональні вектори f₁, f₂, …, f_n лінійно незалежні і, отже, утворюють ортогональний базис. Якщо кожний із цих векторів поділити на його модуль, то отримаємо ортонормований базис, утворений векторами

▲

Описаний спосіб отримання ортонормованої системи векторів із заданої лінійно незалежної системи називають процесом ортогоналізації.

Якщо V₁ – підпростір V і е₁, е₂, ..., е_k – ортонормований базис V₁, то вектори е₁, е₂, ..., е_k можна включити в ортонормований базис всього простору V. Дійсно, для доведення достатньо доповнити е₁, е₂, ..., е_k до базису простору V і здійснити ортогоналізацію отриманої множини векторів, починаючи із

е₁, е₂, ..., е_k.

в) Скалярний добуток в координатах

Нехай е₁,е₂,...,е_п – довільний базис евклідового простору V, х=х₁е₁+х₂е₂+...+х_пе_п, у=у₁е₁+у₂е₂+...+у_пе_п – два довільні вектори цього простору. Тоді

Якщо базис е₁,е₂,...,е_п – ортонормований, то

(x,y)=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n .

Помноживши обидві частини рівності х=х₁е₁+х₂е₂+...+х_пе_п скалярно на е_і , отримаємо, що (х,е_і)=х_і, тобто і-та координата вектора х в ортонормованому базисі дорівнює скалярному добутку вектора х на одиничний вектор е_і. Цей скалярний добуток називають проекцією вектора х на вектор е_і. Отже, координати вектора в ортонормованому базисі – це його проекції на базисні вектори.

г) Ортогональне доповнення

Два підпростори V₁ та V₂ евклідового простору V називаються взаємно ортогональними, якщо кожний вектор із V₁ ортогональний кожному вектору із V₂ (позначають V₁V₂).

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Створення запиту за допомогою Конструктора запитів	\|	Приклад.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.009 сек.