Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Приклад.

У звичайному тривимірному просторі площина хОу та вісь Z є взаємно ортогональними підпросторами.

В той же час площини хОу та уОz не є взаємно ортогональними підпросторами, оскільки не кожен вектор із хОz ортогональний довільному вектору із уОz.

Теорема 3. Для того, щоб підпростори V1 та V2 були взаємно ортогональними, необхідно і достатньо, щоб всі базисні вектори одного були ортогональні всім базисним векторам другого.

Доведення.

Необхідність випливає із означення.

Для доведення достатності припустимо, що е1,е2,...,еk - базис V1, f1,f2,…,fm – базис V2, причому (ei,fj)=0 для всіх i=1,2,...,k, j=1,2,…,m. Тоді для довільних та

отже, ці вектори ортогональні.

Теорема 4. Два взаємно ортогональних підпростори перетинаються по нульовому вектору.

Доведення.

Якщо підпростори V1 та V2 взаємно ортогональні, то

 

тоді (х,х)=0, звідки х=0. ▲

Нехай V1 – довільний підпростір евклідового простору V. Виберемо в V1 ортонормований базис е1,е2,...,еr і доповнимо його до ортонормованого базису е1,е2,...,еr,еr+1,…,enвсього простору V. Вектори еr+1,…,en породжують (n-r)-вимірний простір V2, ортогональний V1.

Теорема 5. Кожний вектор х із V, ортогональний V1, належить V2.

Доведення.

Дійсно, якщо вектор х1е12е2+...+хпеп ортогональний V1, то

(х,еі)=хі=0 при і=1,2,...,r,

 

звідки x=xr+1er+1+…+xnen.

Підпростір V2, утворений всеможливими векторами із V, ортогональними до всіх векторів із V1, називається ортогональним доповненням V1. Позначають його .

Ясно, що

Підпростори V1 і V2 породжують V і перетинаються по нульовомувектору. Значить, евклідів простір V являє собою пряму суму довільного свого підпростору і його ортогонального доповнення:

Тому кожний вектор х із V можна однозначно подати у вигляді суми

x=y+z, де

 


Читайте також:

  1. Наприклад.
  2. Наприклад.
  3. Приклад.
  4. Приклад.
  5. Приклад.
  6. Приклад.
  7. Приклад.
  8. Приклад.
  9. Приклад.
  10. Приклад.
  11. Приклад.
  12. Приклад.




Переглядів: 612

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Основні поняття | Лінійні перетворення в евклідовому просторі

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.012 сек.