Приклад.

У звичайному тривимірному просторі площина хОу та вісь Z є взаємно ортогональними підпросторами.

В той же час площини хОу та уОz не є взаємно ортогональними підпросторами, оскільки не кожен вектор із хОz ортогональний довільному вектору із уОz.

Теорема 3. Для того, щоб підпростори V₁ та V₂ були взаємно ортогональними, необхідно і достатньо, щоб всі базисні вектори одного були ортогональні всім базисним векторам другого.

Доведення.

Необхідність випливає із означення.

Для доведення достатності припустимо, що е₁,е₂,...,е_k - базис V₁, f₁,f₂,…,f_m – базис V₂, причому (e_i,f_j)=0 для всіх i=1,2,...,k, j=1,2,…,m. Тоді для довільних та

отже, ці вектори ортогональні.

Теорема 4. Два взаємно ортогональних підпростори перетинаються по нульовому вектору.

Доведення.

Якщо підпростори V₁ та V₂ взаємно ортогональні, то

тоді (х,х)=0, звідки х=0. ▲

Нехай V₁ – довільний підпростір евклідового простору V. Виберемо в V₁ ортонормований базис е₁,е₂,...,е_r і доповнимо його до ортонормованого базису е₁,е₂,...,е_r,е_r+1,…,e_nвсього простору V. Вектори е_r+1,…,e_n породжують (n-r)-вимірний простір V₂, ортогональний V₁.

Теорема 5. Кожний вектор х із V, ортогональний V₁, належить V₂.

Доведення.

Дійсно, якщо вектор х=х₁е₁+х₂е₂+...+х_пе_п ортогональний V₁, то

(х,е_і)=х_і=0 при і=1,2,...,r,

звідки x=x_r₊₁e_r₊₁+…+x_ne_n.

Підпростір V₂, утворений всеможливими векторами із V, ортогональними до всіх векторів із V₁, називається ортогональним доповненням V₁. Позначають його .

Ясно, що

Підпростори V₁ і V₂ породжують V і перетинаються по нульовомувектору. Значить, евклідів простір V являє собою пряму суму довільного свого підпростору і його ортогонального доповнення:

Тому кожний вектор х із V можна однозначно подати у вигляді суми

x=y+z, де

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Основні поняття	\|	Лінійні перетворення в евклідовому просторі

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.02 сек.