Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Лінійні перетворення в евклідовому просторі

а) Перетворення, спряжене до даного

Нехай – лінійне перетворення евклідового простору . Лінійне перетворення , для якого при всіх x, y V

(Ax, y) = ( x, A*y),

називається спряженим до A.

Покажемо, що для кожного лінійного перетворення A евклідового простору існує спряжене до нього перетворення , матриця якого в довільному ортонормованому базисі є транспонованою до матриці перетворення A.

Нехай A=[aij] – матриця лінійного перетворення A в ортонормованому базисі

e1, e2, …, en, – матриця, транспонована до , – лінійне перетворення з матрицею в тому ж базисі. Тоді, очевидно,

 

(Aei, ej) = (a1ie1 + a2ie2 + … + ajiej + …+ anien, ej) = aji,

 

(ei,A*ej) = (ei, aj1e1 + aj2e2 + …+ ajiei …+ + ajnen) = aji,

 

тобто для всіх

(Aei, ej) = (ei,A*ej).

 

Тоді, якщо x = x1e1 + x2e2 + … +xnen i y = y1e1 + y2e2 + … + ynen, то

(Ax, y) = (Axiei, yjej) = xiyj(Aei ej) i

(x, A*y) = (xiei, A*yjej) = xiyj(ei,A*ej) = xiyj(Aei ej) = (Ax, y),

тобто перетворення є спряженим до A .

 

Властивості:

1. .

Дійсно, (x, y) = (x, y) =(x, y) = (x, y).

2. .

Дійсно, (Ax, y) = (x, A*y) = (A*y, x) = (y,(A*)* x) = ((A*)* x, y).

3. .

Дійсно, (x,(A + B)*y) = ((A + B)x, y) = (Ax+ Bx, y) = (Ax, y) + (Bx, y) =

= (x, A*y) + (x, B*y) = (x,(A* + B*)y).

4.

Дійсно, (x,(AB)*y) = ((AB)x, y) = (A (Bx), y) = (Bx, A*y) = (x, B*(A*)y) = (x,(B *A*)y).

5. Якщо існує, то .

Дійсно, .

 

 

б) Самоспряжені перетворення

Самоспряженим (симетричним) називається перетворення, яке співпадає із своїм спряженим, тобто .

Якщо A – самоспряжене перетворення, то x, y V (Ax, y)=( x, Ay).

Якщо матрицею самоспряженого перетворення A в ортонормованому базисі єA=[aij], тоді A' = A, тобто aij = aji. Така матриця називається симетричною.

Властивості:

1. Тотожнє перетворення є самоспряженим, оскільки .

2. Сума самоспряжених перетворень є самоспряженим перетворенням.

.

3. Перетворення, обернене до невиродженого самоспряженого перетворення, є самоспряженим перетворенням.

.

4. Добуток самоспряжених перетворень є самоспряженим перетворенням тоді і тільки тоді, коли ці перетворення переставні між собою.

а) якщо , і , то , тобто .

б) якщо , і , то , тобто – самоспряжене перетворення.

5. Якщо підпростір інваріантний відносно лінійного перетворення A, то його ортогональне доповнення інваріантне відносно спряженого до A перетворення .

Нехай х – довільний вектор із , у – довільний вектор із . Тоді (A*x, y) = = (x, Ay) = 0, оскільки Ay і, значить, хAy. Значить, вектор A*x, і є інваріантним відносно .

Наслідок. Якщо A – самоспряжене перетворення і підпростір, інваріантний відносноA, то і інваріантний відносно A.

6. Всі корені характеристичного многочлена самоспряженого перетворення A дійсні (власні значення самоспряженого оператора дійсні).

(Ax, х) = (λx, х),

(x, Aх) = = (x, х).

Оскільки A – самоспряжений, то (Ax, х) = (x, Aх), значить , тобто – дійсне.

7. Власні вектори, що відповідають різним власним значенням самоспряженого оператора, ортогональні.

Нехай – власні значення самоспряженого оператора A, а х1 та х2 – відповідні їм власні вектори.

(Ax1, х2) = λ1(x1, х2), (x1, Aх2) = λ2 (x1, х2).

 

(Ax1, х2) = (x1, Aх2 ), бо A – самоспряжений. Тоді

 

(x1, х2) = 0 (x1, х2) = 0,

що й треба було довести.

8. Матриця самоспряженого оператора в деякому ортонормованому базисі зводиться до діагонального вигляду.

Нехай – одне із власних значень самоспряженого оператора A (дійсне). Відповідний власний вектор позначимо е1, тобто Aе1 = λ1е1. Вектор е1 можна вважати одиничним, оскільки інакше його можна замінити одиничним власним вектором з тим же власним значенням .

Позначимо через одновимірний підпростір, породжений вектором е1. Його ортогональне доповнення буде інваріантним відносно A. Нехай – (дійсне) власне значення перетворення A в підпросторі , відповідний (одиничний) власний вектор позначимо е2. Тоді Aе2 = λ2е2. Нехай буде (інваріантним) підпростором, породженим векторами е1 і е2. Тоді підпростір теж інваріантний відносно A. Продовжуючи цю побудову, ми знайдемо попарно ортогональних (значить, лінійно незалежних) одиничних власних векторів перетворення A. В базисі, що складається із цих векторів, матриця А перетворення A зводиться до діагонального вигляду:

 

Aе1 = λ1е1,

Aе2 = λ2е2,

…………..

Aеn = λnеn,

звідки

А = .

 

Геометрично самоспряжене лінійне перетворення зводиться до розтягів з коефіцієнтами вздовж координатних осей, співнапрямлених з е1, е2,, …, еn відповідно.

 

в) Ортогональні перетворення

Лінійне перетворення A евклідового простору V називається ортогональним, якщо воно зберігає скалярний добуток векторів, тобто якщо x, y V (Ax, Ay) = (x, y).

Це означає , що ортогональне перетворення зберігає довжини векторів та кути між ними (тому ортогональні перетворення іноді називають ізометричними).

Ясно, що ортогональне перетворення переводить довільний ортонормований базис в ортонормований і навпаки.

Властивості:

1. , тобто .

Дійсно, якщо A - ортогональне перетворення і - спряжене до нього перетворення, то x, y V

 

(x, y) = (Ax, Ay) = (x, A*( A y)) = (x, A* A y).

 

Значить, або . Із отриманих рівностей видно, що ортогональне перетворення завжди не вироджене.

2. Перетворення обернене до ортогонального, теж ортогональне.

Дійсно, якщо , то .

Сума ортогональних перетворень, взагалі кажучи, не буде ортогональним перетворенням.

3. Добуток ортогональних перетворень є ортогональним перетворенням.

Дійсно, .

Матриця A, для якої A' = A-1, називається ортогональною матрицею.

4. Визначник ортогональної матриці дорівнює .

Дійсно, із AA' = E випливає: |AA'| = |A||A'| = |E| = 1.

Оскільки |A| = |A'| (транспонування не змінює визначника), то:

|A|2 = 1 , і .

5. Власні значення ортогонального перетворення дорівнюють .

Дійсно, якщо x- власний вектор і - відповідне йому власне значення ортогонального перетворення A, то:

(x, x) = (Ax, Ax) = (λx, λx) = λ2(x, x),

звідки, оскільки (x, x) ≠ 0, отримуємо , і .

6. Якщо підпростір інваріантний відносно ортогонального перетворення A, то його ортогональне доповнення теж інваріантне відносно A.

Із ортогональності A випливає . Згідно властивості 5 пункту б підпростір інваріантний відносно перетворення . Але тоді (згідно теореми 2, р.8, §2, д) цей підпростір інваріантний і відносно оберненого перетворення, тобто відносно .

Розглянемо, що являє собою довільне ортогональне перетворення.

1. Нехай A - ортогональне перетворення прямої і е. Тоді Aе і, значить, Aе = λе, де , тобто Aе = ±е. Це означає, що A - або тотожнє перетворення,або центральна симетрія.

2. Нехай A - ортогональне перетворення площини, і - його матриця в деякому ортонормованому базисі. Тоді із , тобто , отримаємо:

,

,

.

Для перших двох рівностей знайдуться такі і , що:

, , , .

Тоді третя рівність дає , звідки випливає, що або , тобто або .

В першому випадку

,

і ми отримаємо: , тобто перетворення A - це поворот на кут навколо початку координат.

В другому випадку , і .

Ця матриця – симетрична, значить, ортогональне перетворення A є і самоспряженим, тобто в деякому ортогональному базисі його матриця зводиться до діагонального вигляду: , де .

Визначник цієї матриці повинен бути рівним:

,

значить і мають різні знаки, тобто матриця оператора А зводиться до вигляду .

Це симетрія відносно прямої, яка визначається вектором е1 (першим вектором нового базису).

Таким чином, ортогональне перетворення площини – це або поворот навколо початку координат на деякий кут (зокрема, тотожнє перетворення або центральна симетрія – визначник цих перетворень дорівнює 1) або осьова симетрія (визначник дорівнює –1).

 


Читайте також:

  1. Адаптивні хвилькові перетворення : Хвилькові пакети.
  2. Анатомія параректальних просторів
  3. Багатоконтурні лінійні електричні ланцюги
  4. Білінійні і квадратичні форми в евклідовому просторі
  5. В українському інформаційному просторі аналітична журналістика також повинна відіграти вже зараз видатну роль: збудувати духовну будівлю українського національного світу.
  6. Вектори, лінійні операції над векторами
  7. Визначення перетворення за Лапласом
  8. Визначення. Матриці, отримані в результаті елементарного перетворення, називаються еквівалентними.
  9. Визначте соціальні перетворення в процесі радянізації українського суспільства.
  10. Виконаємо лінійне перетворення
  11. Вимірювальні сигнали, перетворення вимірювальних сигналів, форми вимірювальної інформації
  12. Вирішення проблеми не міститься в існуючому знанні та не може бути отримане шляхом перетворення наявної наукової інформації.




Переглядів: 1350

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Приклад. | Лекція 10

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.013 сек.