• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Лінійні перетворення в евклідовому просторі

а) Перетворення, спряжене до даного

Нехай – лінійне перетворення евклідового простору . Лінійне перетворення , для якого при всіх x, y V

(Ax, y) = ( x, A^*y),

називається спряженим до A.

Покажемо, що для кожного лінійного перетворення A евклідового простору існує спряжене до нього перетворення , матриця якого в довільному ортонормованому базисі є транспонованою до матриці перетворення A.

Нехай A=[a_ij] – матриця лінійного перетворення A в ортонормованому базисі

e_1, e₂, …, e_n, – матриця, транспонована до , – лінійне перетворення з матрицею в тому ж базисі. Тоді, очевидно,

(Ae_i, e_j) = (a_1ie₁ + a_2ie₂ + … + a_jie_j + …+ a_nie_n, e_j) = a_ji,

(e_i,A*e_j) = (e_i, a_j1e₁ + a_j2e₂ + …+ a_jie_i …+ + a_jne_n) = a_ji,

тобто для всіх

(Ae_i, e_j) = (e_i,A*e_j).

Тоді, якщо x = x₁e₁ + x₂e₂ + … +x_ne_n i y = y₁e₁ + y₂e₂ + … + y_ne_n, то

(Ax, y) = (Ax_ie_i, y_je_j) = x_iy_j(Ae_i e_j) i

(x, A*y) = (x_ie_i, A*y_je_j) = x_iy_j(e_i,A*e_j) = x_iy_j(Ae_i e_j) = (Ax, y),

тобто перетворення є спряженим до A .

Властивості:

1. .

Дійсно, (x, y) = (x, y) =(x, y) = (x, y).

2. .

Дійсно, (Ax, y) = (x, A*y) = (A*y, x) = (y,(A*)^* x) = ((A*)^* x, y).

3. .

Дійсно, (x,(A + B)*y) = ((A + B)x, y) = (Ax+ Bx, y) = (Ax, y) + (Bx, y) =

= (x, A*y) + (x, B*y) = (x,(A^* + B*)y).

4.

Дійсно, (x,(AB)*y) = ((AB)x, y) = (A (Bx), y) = (Bx, A*y) = (x, B^*(A*)y) = (x,(B ^*A*)y).

5. Якщо існує, то .

Дійсно, .

б) Самоспряжені перетворення

Самоспряженим (симетричним) називається перетворення, яке співпадає із своїм спряженим, тобто .

Якщо A – самоспряжене перетворення, то x, y V (Ax, y)=( x, Ay).

Якщо матрицею самоспряженого перетворення A в ортонормованому базисі єA=[a_ij], тоді A' = A, тобто a_ij = a_ji. Така матриця називається симетричною.

Властивості:

1. Тотожнє перетворення є самоспряженим, оскільки .

2. Сума самоспряжених перетворень є самоспряженим перетворенням.

.

3. Перетворення, обернене до невиродженого самоспряженого перетворення, є самоспряженим перетворенням.

.

4. Добуток самоспряжених перетворень є самоспряженим перетворенням тоді і тільки тоді, коли ці перетворення переставні між собою.

а) якщо , і , то , тобто .

б) якщо , і , то , тобто – самоспряжене перетворення.

5. Якщо підпростір інваріантний відносно лінійного перетворення A, то його ортогональне доповнення інваріантне відносно спряженого до A перетворення .

Нехай х – довільний вектор із , у – довільний вектор із . Тоді (A^*x, y) = = (x, Ay) = 0, оскільки Ay і, значить, хAy. Значить, вектор A^*x, і є інваріантним відносно .

Наслідок. Якщо A – самоспряжене перетворення і підпростір, інваріантний відносноA, то і інваріантний відносно A.

6. Всі корені характеристичного многочлена самоспряженого перетворення A дійсні (власні значення самоспряженого оператора дійсні).

(Ax, х) = (λx, х),

(x, Aх) = = (x, х).

Оскільки A – самоспряжений, то (Ax, х) = (x, Aх), значить , тобто – дійсне.

7. Власні вектори, що відповідають різним власним значенням самоспряженого оператора, ортогональні.

Нехай – власні значення самоспряженого оператора A, а х₁ та х₂ – відповідні їм власні вектори.

(Ax₁, х₂) = λ₁(x₁, х₂), (x₁, Aх₂) = λ₂ (x₁, х₂).

(Ax₁, х₂) = (x₁, Aх₂ ), бо A – самоспряжений. Тоді

(x₁, х₂) = 0 (x₁, х₂) = 0,

що й треба було довести.

8. Матриця самоспряженого оператора в деякому ортонормованому базисі зводиться до діагонального вигляду.

Нехай – одне із власних значень самоспряженого оператора A (дійсне). Відповідний власний вектор позначимо е₁, тобто Aе₁ = λ₁е₁. Вектор е₁ можна вважати одиничним, оскільки інакше його можна замінити одиничним власним вектором з тим же власним значенням .

Позначимо через одновимірний підпростір, породжений вектором е₁. Його ортогональне доповнення буде інваріантним відносно A. Нехай – (дійсне) власне значення перетворення A в підпросторі , відповідний (одиничний) власний вектор позначимо е₂. Тоді Aе₂ = λ₂е₂. Нехай буде (інваріантним) підпростором, породженим векторами е₁ і е₂. Тоді підпростір теж інваріантний відносно A. Продовжуючи цю побудову, ми знайдемо попарно ортогональних (значить, лінійно незалежних) одиничних власних векторів перетворення A. В базисі, що складається із цих векторів, матриця А перетворення A зводиться до діагонального вигляду:

Aе₁ = λ₁е₁,

Aе₂ = λ₂е₂,

…………..

Aе_n = λ_nе_n,

звідки

А = .

Геометрично самоспряжене лінійне перетворення зводиться до розтягів з коефіцієнтами вздовж координатних осей, співнапрямлених з е₁, е_2,, …, е_n відповідно.

в) Ортогональні перетворення

Лінійне перетворення A евклідового простору V називається ортогональним, якщо воно зберігає скалярний добуток векторів, тобто якщо x, y V (Ax, Ay) = (x, y).

Це означає , що ортогональне перетворення зберігає довжини векторів та кути між ними (тому ортогональні перетворення іноді називають ізометричними).

Ясно, що ортогональне перетворення переводить довільний ортонормований базис в ортонормований і навпаки.

Властивості:

1. , тобто .

Дійсно, якщо A - ортогональне перетворення і - спряжене до нього перетворення, то x, y V

(x, y) = (Ax, Ay) = (x, A^*( A y)) = (x, A^* A y).

Значить, або . Із отриманих рівностей видно, що ортогональне перетворення завжди не вироджене.

2. Перетворення обернене до ортогонального, теж ортогональне.

Дійсно, якщо , то .

Сума ортогональних перетворень, взагалі кажучи, не буде ортогональним перетворенням.

3. Добуток ортогональних перетворень є ортогональним перетворенням.

Дійсно, .

Матриця A, для якої A' = A^-1, називається ортогональною матрицею.

4. Визначник ортогональної матриці дорівнює .

Дійсно, із AA' = E випливає: |AA'| = |A||A'| = |E| = 1.

Оскільки |A| = |A'| (транспонування не змінює визначника), то:

|A|² = 1 , і .

5. Власні значення ортогонального перетворення дорівнюють .

Дійсно, якщо x- власний вектор і - відповідне йому власне значення ортогонального перетворення A, то:

(x, x) = (Ax, Ax) = (λx, λx) = λ²(x, x),

звідки, оскільки (x, x) ≠ 0, отримуємо , і .

6. Якщо підпростір інваріантний відносно ортогонального перетворення A, то його ортогональне доповнення теж інваріантне відносно A.

Із ортогональності A випливає . Згідно властивості 5 пункту б підпростір інваріантний відносно перетворення . Але тоді (згідно теореми 2, р.8, §2, д) цей підпростір інваріантний і відносно оберненого перетворення, тобто відносно .

Розглянемо, що являє собою довільне ортогональне перетворення.

1. Нехай A - ортогональне перетворення прямої і е. Тоді Aе і, значить, Aе = λе, де , тобто Aе = ±е. Це означає, що A - або тотожнє перетворення,або центральна симетрія.

2. Нехай A - ортогональне перетворення площини, і - його матриця в деякому ортонормованому базисі. Тоді із , тобто , отримаємо:

,

,

.

Для перших двох рівностей знайдуться такі і , що:

, , , .

Тоді третя рівність дає , звідки випливає, що або , тобто або .

В першому випадку

,

і ми отримаємо: , тобто перетворення A - це поворот на кут навколо початку координат.

В другому випадку , і .

Ця матриця – симетрична, значить, ортогональне перетворення A є і самоспряженим, тобто в деякому ортогональному базисі його матриця зводиться до діагонального вигляду: , де .

Визначник цієї матриці повинен бути рівним:

,

значить і мають різні знаки, тобто матриця оператора А зводиться до вигляду .

Це симетрія відносно прямої, яка визначається вектором е₁ (першим вектором нового базису).

Таким чином, ортогональне перетворення площини – це або поворот навколо початку координат на деякий кут (зокрема, тотожнє перетворення або центральна симетрія – визначник цих перетворень дорівнює 1) або осьова симетрія (визначник дорівнює –1).

Читайте також:

1. Адаптивні хвилькові перетворення : Хвилькові пакети.
2. Анатомія параректальних просторів
3. Багатоконтурні лінійні електричні ланцюги
4. Білінійні і квадратичні форми в евклідовому просторі
5. В українському інформаційному просторі аналітична журналістика також повинна відіграти вже зараз видатну роль: збудувати духовну будівлю українського національного світу.
6. Вектори, лінійні операції над векторами
7. Визначення перетворення за Лапласом
8. Визначення. Матриці, отримані в результаті елементарного перетворення, називаються еквівалентними.
9. Визначте соціальні перетворення в процесі радянізації українського суспільства.
10. Виконаємо лінійне перетворення
11. Вимірювальні сигнали, перетворення вимірювальних сигналів, форми вимірювальної інформації
12. Вирішення проблеми не міститься в існуючому знанні та не може бути отримане шляхом перетворення наявної наукової інформації.

Переглядів: 1358