МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів
Контакти
Тлумачний словник Авто Автоматизація Архітектура Астрономія Аудит Біологія Будівництво Бухгалтерія Винахідництво Виробництво Військова справа Генетика Географія Геологія Господарство Держава Дім Екологія Економетрика Економіка Електроніка Журналістика та ЗМІ Зв'язок Іноземні мови Інформатика Історія Комп'ютери Креслення Кулінарія Культура Лексикологія Література Логіка Маркетинг Математика Машинобудування Медицина Менеджмент Метали і Зварювання Механіка Мистецтво Музика Населення Освіта Охорона безпеки життя Охорона Праці Педагогіка Політика Право Програмування Промисловість Психологія Радіо Регилия Соціологія Спорт Стандартизація Технології Торгівля Туризм Фізика Фізіологія Філософія Фінанси Хімія Юриспунденкция |
|
|||||||
Лекція 10Білінійні і квадратичні функції (форми) §1. Лінійна функція (форма) Кажуть, що в векторному просторі V задана лінійна функція f(x), якщо кожному вектору xV поставлено у відповідність число f(x), так, що виконані наступні умови: 1. f(x + y) = f(x) + f(y), 2. f(αx) = α f(x), де х, у – довільні вектори із V, а α - будь-яке дійсне число. Щоб знайти вираження лінійної функції в координатах, виберемо в просторі V базис e1, e2, …, en. Нехай в цьому базисі довільний вектор xV зображається так: x = x1e1 + x2e2 + … + xnen. Тоді f(x) = f(x1e1 + x2e2 + … +xnen) = x1 f (e1)+ x2 f (e2)+ … + xn f (en). Позначимо: f (e1) = a1, f (e2) = a2, ..., f (en) = an . Таким чином, при фіксованому базисі лінійна функція f(x) подається лінійною формою: f(x) = a1 x1 + a2 x2 +…+ an xn, де - координати вектора х, - коефіцієнти, які не залежать від вектора х.
§2. Поняття білінійної та квадратичної функції
Задана у векторному просторі V функція двох змінних А(х, у) називається білінійною, якщо при фіксованому х вона лінійна за змінною у, а при фіксованому у – лінійна за х. Отже, якщо А(х, у) - білінійна функція, то при всіх x, y, z V і довільному дійсному α : A(х + у, z) = A(х, z) + A(y, z) ; A(αх, y) = αA(х, у) ; A(z, х + у) = A(z, х) + A(z, y) ; A(х, αy) = αA(х, у) Прикладом білінійної функції є скалярний добуток (х, у). Знайдемо вираження білінійної функції в координатах. Нехай в просторі V заданий базис e1, e2, …, en і нехай x = x1e1 + x2e2 + … + xnen =xiei, y = y1e1 + y2e2 + … + ynen =yjej. Тоді A(х, у) = A(x1e1 + x2e2 + … + xnen, y1e1 + y2e2 + … + ynen) = xi yj A(ei, ej) = aij xi yj, де коефіцієнти aij = A(ei, ej) залежать тільки від базису і не залежать від векторів х та у. Отже в даному базисі білінійна функція подається білінійною формою, тобто виразомaij xi yj. Матриця A = [aij] називається матрицею цієї білінійної форми. Наприклад, скалярний добуток (х, у) подається наступною білінійною формою: (х, у) = (xiei, yjej) = aij xi yj , , де aij = (ei, ej). Вияснимо, як змінюється матриця білінійної форми при переході до нового базису. Нехай в базисі e1, e2, …, en: A(х, у) = aij xi yj, де aij = A(ei, ej), і нехай e'1, e'2, …, e'n - новий базис , в якому: A(х, у) =bpq x'p y'q, де bpq = A(e'p, e'q). Покладемо A = [aij], B = [bpq] і позначимо через C = [cij] матрицю переходу від старогo базису до нового. Тоді: e'p = c1pe1 + c2pe2 +… + cnpen, e'q = c1qe1 + c2qe2 +… + cnqen , bpq = A(e'p, e'q) = A(c1p e1 + c2p e2 +… + c1n en, c1q e1 + c2q e2 +… + cnq en) = = cip cjq A(ei, ej) = cip cjq aij = cip aij cjq . Позначимо cip через dpi , де матриця [dpi] = C' - транспонована до матриці C = [cip]. Тоді bpq = dpi aij cjq . Далі, оскільки aij cjq є елемент, який знаходиться в і-му рядку та q-му стовпчику матриці АС, тоdpi aij cjq = dpi (aij cjq)- це елемент, який знаходиться в p-му рядку і q-му стовпчику матриці . Отже, . Ранг матриці білінійної форми не залежить від вибору базису і може бути названий тому рангом білінійної форми. Білінійна форма називається симетричною, якщо x, y,V : A(х, у) = A(y, x ). У цьому випадку aij = aji, тобто матриця [aij] симетричної білінійної форми в довільному базисі буде симетричною. Прикладом симетричної білінійної форми є скалярний добуток. Якщо в симетричній білінійній формі A(х, у) покласти х = у, то отримається квадратична форма А(х, х). Із квадратичної форми однозначно визначається і відповідна їй симетрична білінійна форма. Дійсно, A(х + y, х + y ) = А(х, х) + А(y, y)+ A(х, у)+ A(y, x ), звідки A(х, у) = [ A(х + y, х + y ) - А(х, х) - А(y, y)]. Білінійна функція називається кососиметричною, якщо x, y,V : A(х, у) = - A(y, x ). В заданому базисі кососиметрична білінійна функція подається кососиметричною білінійною формою A(х, у) = aij xi yj, де aij = - aji, при всіх i,j, зокрема, aii = 0 при всіх і.
Читайте також:
|
||||||||
|