Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Лекція 10

Білінійні і квадратичні функції (форми)

§1. Лінійна функція (форма)

Кажуть, що в векторному просторі V задана лінійна функція f(x), якщо кожному вектору xV поставлено у відповідність число f(x), так, що виконані наступні умови:

1. f(x + y) = f(x) + f(y),

2. f(αx) = α f(x),

де х, у – довільні вектори із V, а α - будь-яке дійсне число.

Щоб знайти вираження лінійної функції в координатах, виберемо в просторі V базис e1, e2, …, en. Нехай в цьому базисі довільний вектор xV зображається так:

x = x1e1 + x2e2 + … + xnen.

Тоді

f(x) = f(x1e1 + x2e2 + … +xnen) = x1 f (e1)+ x2 f (e2)+ … + xn f (en).

Позначимо: f (e1) = a1, f (e2) = a2, ..., f (en) = an .

Таким чином, при фіксованому базисі лінійна функція f(x) подається лінійною формою:

f(x) = a1 x1 + a2 x2 +…+ an xn,

де - координати вектора х, - коефіцієнти, які не залежать від вектора х.

 

§2. Поняття білінійної та квадратичної функції

 

Задана у векторному просторі V функція двох змінних А(х, у) називається білінійною, якщо при фіксованому х вона лінійна за змінною у, а при фіксованому у – лінійна за х.

Отже, якщо А(х, у) - білінійна функція, то при всіх x, y, z V і довільному дійсному α :

A(х + у, z) = A(х, z) + A(y, z) ;

A(αх, y) = αA(х, у) ;

A(z, х + у) = A(z, х) + A(z, y) ;

A(х, αy) = αA(х, у)

Прикладом білінійної функції є скалярний добуток (х, у).

Знайдемо вираження білінійної функції в координатах.

Нехай в просторі V заданий базис e1, e2, …, en і нехай

x = x1e1 + x2e2 + … + xnen =xiei, y = y1e1 + y2e2 + … + ynen =yjej.

Тоді A(х, у) = A(x1e1 + x2e2 + … + xnen, y1e1 + y2e2 + … + ynen) = xi yj A(ei, ej) = aij xi yj,

де коефіцієнти aij = A(ei, ej) залежать тільки від базису і не залежать від векторів х та у. Отже в даному базисі білінійна функція подається білінійною формою, тобто виразомaij xi yj. Матриця A = [aij] називається матрицею цієї білінійної форми.

Наприклад, скалярний добуток (х, у) подається наступною білінійною формою:

(х, у) = (xiei, yjej) = aij xi yj , , де aij = (ei, ej).

Вияснимо, як змінюється матриця білінійної форми при переході до нового базису.

Нехай в базисі e1, e2, …, en:

A(х, у) = aij xi yj, де aij = A(ei, ej),

і нехай e'1, e'2, …, e'n - новий базис , в якому:

A(х, у) =bpq x'p y'q, де bpq = A(e'p, e'q).

Покладемо A = [aij], B = [bpq] і позначимо через C = [cij] матрицю переходу від старогo базису до нового. Тоді:

e'p = c1pe1 + c2pe2 +… + cnpen,

e'q = c1qe1 + c2qe2 +… + cnqen ,

bpq = A(e'p, e'q) = A(c1p e1 + c2p e2 +… + c1n en, c1q e1 + c2q e2 +… + cnq en) =

= cip cjq A(ei, ej) = cip cjq aij = cip aij cjq .

Позначимо cip через dpi , де матриця [dpi] = C' - транспонована до матриці C = [cip].

Тоді bpq = dpi aij cjq . Далі, оскільки aij cjq є елемент, який знаходиться в і-му рядку та q-му стовпчику матриці АС, тоdpi aij cjq = dpi (aij cjq)- це елемент, який знаходиться в p-му рядку і q-му стовпчику матриці . Отже, .

Ранг матриці білінійної форми не залежить від вибору базису і може бути названий тому рангом білінійної форми.

Білінійна форма називається симетричною, якщо x, y,V :

A(х, у) = A(y, x ).

У цьому випадку aij = aji, тобто матриця [aij] симетричної білінійної форми в довільному базисі буде симетричною.

Прикладом симетричної білінійної форми є скалярний добуток.

Якщо в симетричній білінійній формі A(х, у) покласти х = у, то отримається квадратична форма А(х, х). Із квадратичної форми однозначно визначається і відповідна їй симетрична білінійна форма. Дійсно,

A(х + y, х + y ) = А(х, х) + А(y, y)+ A(х, у)+ A(y, x ), звідки

A(х, у) = [ A(х + y, х + y ) - А, х) - А(y, y)].

Білінійна функція називається кососиметричною, якщо

x, y,V : A(х, у) = - A(y, x ).

В заданому базисі кососиметрична білінійна функція подається кососиметричною білінійною формою A(х, у) = aij xi yj, де aij = - aji, при всіх i,j, зокрема, aii = 0 при всіх і.

 


Читайте також:

  1. Вид заняття: лекція
  2. Вид заняття: лекція
  3. Вид заняття: лекція
  4. Вид заняття: лекція
  5. Вид заняття: лекція
  6. Вступна лекція
  7. Вступна лекція 1. Методологічні аспекти технічного регулювання у
  8. Клітинна селекція рослин.
  9. Колекція фонограм з голосами осіб, які анонімно повідомляли про загрозу вибуху
  10. ЛЕКЦІЯ (4): Мануфактурний період світової економіки
  11. Лекція - Геополітика держави на міжнародній арені
  12. Лекція 02.04.2013




Переглядів: 793

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Лінійні перетворення в евклідовому просторі | Доведення.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.005 сек.