Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Лекція 10

Білінійні і квадратичні функції (форми)

§1. Лінійна функція (форма)

Кажуть, що в векторному просторі V задана лінійна функція f(x), якщо кожному вектору xV поставлено у відповідність число f(x), так, що виконані наступні умови:

1. f(x + y) = f(x) + f(y),

2. f(αx) = α f(x),

де х, у – довільні вектори із V, а α - будь-яке дійсне число.

Щоб знайти вираження лінійної функції в координатах, виберемо в просторі V базис e₁, e₂, …, e_n. Нехай в цьому базисі довільний вектор xV зображається так:

x = x₁e₁+ x₂e₂+ … + x_ne_n.

Тоді

f(x) = f(x₁e₁+ x₂e₂+ … +x_ne_n) = x₁ f (e₁)+ x₂ f (e₂)+ … + x_n f (e_n).

Позначимо: f (e₁) = a₁, f (e₂) = a₂, ..., f (e_n) = a_n.

Таким чином, при фіксованому базисі лінійна функція f(x) подається лінійною формою:

f(x) = a₁ x₁ + a₂ x₂ +…+ a_n x_n,

де - координати вектора х, - коефіцієнти, які не залежать від вектора х.

§2. Поняття білінійної та квадратичної функції

Задана у векторному просторі V функція двох змінних А(х, у) називається білінійною, якщо при фіксованому х вона лінійна за змінною у, а при фіксованому у – лінійна за х.

Отже, якщо А(х, у) - білінійна функція, то при всіх x, y, z V і довільному дійсному α :

A(х + у, z) = A(х, z) + A(y, z) ;

A(αх, y) = αA(х, у) ;

A(z, х + у) = A(z, х) + A(z, y) ;

A(х, αy) = αA(х, у)

Прикладом білінійної функції є скалярний добуток (х, у).

Знайдемо вираження білінійної функції в координатах.

Нехай в просторі V заданий базис e₁, e₂, …, e_n і нехай

x = x₁e₁+ x₂e₂+ … + x_ne_n =x_ie_i, y = y₁e₁+ y₂e₂+ … + y_ne_n =y_je_j.

Тоді A(х, у) = A(x₁e₁+ x₂e₂+ … + x_ne_n, y₁e₁+ y₂e₂+ … + y_ne_n) = x_i y_j A(e_i, e_j) = a_ij x_i y_j,

де коефіцієнти a_ij = A(e_i, e_j) залежать тільки від базису і не залежать від векторів х та у. Отже в даному базисі білінійна функція подається білінійною формою, тобто виразомa_ij x_i y_j. Матриця A = [a_ij] називається матрицею цієї білінійної форми.

Наприклад, скалярний добуток (х, у) подається наступною білінійною формою:

(х, у) = (x_ie_i, y_je_j) = a_ij x_i y_j , , де a_ij = (e_i, e_j).

Вияснимо, як змінюється матриця білінійної форми при переході до нового базису.

Нехай в базисі e₁, e₂, …, e_n:

A(х, у) = a_ij x_i y_j, де a_ij = A(e_i, e_j),

і нехай e'₁, e'₂, …, e'_n - новий базис , в якому:

A(х, у) =b_pq x'_p y'_q, де b_pq = A(e'_p, e'_q).

Покладемо A = [a_ij], B = [b_pq] і позначимо через C = [c_ij] матрицю переходу від старогo базису до нового. Тоді:

e'_p = c_1pe_{1 +} c_2pe₂+… + c_npe_n,

e'_q = c_1qe_{1 +} c_2qe₂+… + c_nqe_n ,

b_pq = A(e'_p, e'_q) = A(c_1p e_{1 +} c_2p e₂+… + c_1n e_n, c_1q e_{1 +} c_2q e₂+… + c_nq e_n) =

= c_ip c_jq A(e_i, e_j) = c_ip c_jq a_{ij =}c_ip a_ij c_jq .

Позначимо c_ipчерез d_pi, де матриця [d_pi] = C' - транспонована до матриці C = [c_ip].

Тоді b_pq = d_pi a_ij c_jq . Далі, оскільки a_ij c_jq є елемент, який знаходиться в і-му рядку та q-му стовпчику матриці АС, тоd_pi a_ij c_{jq =} d_pi(a_ij c_jq)- це елемент, який знаходиться в p-му рядку і q-му стовпчику матриці . Отже, .

Ранг матриці білінійної форми не залежить від вибору базису і може бути названий тому рангом білінійної форми.

Білінійна форма називається симетричною, якщо x, y,V :

A(х, у) = A(y, x ).

У цьому випадку a_ij = a_ji, тобто матриця [a_ij] симетричної білінійної форми в довільному базисі буде симетричною.

Прикладом симетричної білінійної форми є скалярний добуток.

Якщо в симетричній білінійній формі A(х, у) покласти х = у, то отримається квадратична форма А(х, х). Із квадратичної форми однозначно визначається і відповідна їй симетрична білінійна форма. Дійсно,

A(х + y, х + y ) = А(х, х) + А(y, y)+ A(х, у)+ A(y, x ), звідки

A(х, у) = [ A(х + y, х + y ) - А(х, х) - А(y, y)].

Білінійна функція називається кососиметричною, якщо

x, y,V : A(х, у) = - A(y, x ).

В заданому базисі кососиметрична білінійна функція подається кососиметричною білінійною формою A(х, у) = a_ij x_i y_j, де a_ij = - a_ji, при всіх i,j, зокрема, a_ii = 0 при всіх і.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Лінійні перетворення в евклідовому просторі	\|	Доведення.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.007 сек.