![]()
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів
Контакти
Тлумачний словник Авто Автоматизація Архітектура Астрономія Аудит Біологія Будівництво Бухгалтерія Винахідництво Виробництво Військова справа Генетика Географія Геологія Господарство Держава Дім Екологія Економетрика Економіка Електроніка Журналістика та ЗМІ Зв'язок Іноземні мови Інформатика Історія Комп'ютери Креслення Кулінарія Культура Лексикологія Література Логіка Маркетинг Математика Машинобудування Медицина Менеджмент Метали і Зварювання Механіка Мистецтво Музика Населення Освіта Охорона безпеки життя Охорона Праці Педагогіка Політика Право Програмування Промисловість Психологія Радіо Регилия Соціологія Спорт Стандартизація Технології Торгівля Туризм Фізика Фізіологія Філософія Фінанси Хімія Юриспунденкция |
|
||||||||||||||||||||||||
Основні поняттяВекторні простори Кондукторная втулка для сверления отверстий Нормирование точности размеров гладких элементов деталей на технологических чертежах Рассмотрим примеры оформления конструкторских (рис.33) и технологических чертежей (рис.34).
«Неуказанные предельные отклонения размеров: отверстий H14, валов h14, остальных ± Рисунок 33 – Конструкторский чертеж
Рисунок 34 – Операционно–технологическая карта
а) Означення Множина V елементів x, y, z,… називається лінійним, або векторним, простором, якщо сума х+у довільних двох її елементів х, у і добуток αхкожного її елемента хна будь-яке число α теж належать множині V, причому виконуються наступні умови:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Елементи векторного простору називають векторами.
Приклади векторних просторів. 1. Множина многочленів не вище п-го степеня з дійсними коефіцієнтами. 2. Множина розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь. 3. Множина всеможливих рядків, які містять п дійсних чисел.
Якщо в просторі V визначено множення його елементів на дійсні (комплексні) числа, то V називають дійсним (комплексним) векторним простором. Із означення векторного простору випливають наступні властивості. 1. Єдиність нуля. Якщо припустити існування двох нульових елементів 01 і 02, то із 01+02=01та 02+01=02і того, що 01+02=02+01, випливає 01=02. 2. Єдиність протилежного елемента. Якщо припустити існування двох протилежних до хелементів y та z, таких, що х+у=0і х+z=0, то із y+x+z=y+(x+z)=y+0=yта y+x+z=(y+x)+z=0+z=z випливає y=z. 3. Дійсно, 0 · x = (0 + 0)x = 0 · x + 0 · x.Додавши до обох частин рівності - 0 · x , отримаємо 0 = 0 · x. 4. Дійсно, 5. Якщо добуток αх=0, то або α=0, або х=0. Дійсно, якщо 6. Дійсно, х+(-1)х=1·х+(-1)х=[1+(-1)]x=0·x=0, звідки (-1)х= -х.
б) Розмірність і базис Вектори а1, а2,…,аk векторного простору V називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа В іншому випадку вектори називають лінійно незалежними. Якщо вектори а1,а2,…,аkлінійно залежні, тобто тобто
Це означає, що вектор аk є лінійною комбінацією решти векторів системи. Отже, якщо вектори а1, а2,…,аk лінійно залежні, то, принаймні, один із них лінійно виражається через решту. Ясно, що справедливе і зворотнє твердження. Максимальна кількість лінійно незалежних векторів системи векторів а1, а2,…,аk називається рангом цієї системи. Позначають rank{ а1, а2,…,аk}.
Довільна матриця
систему векторів – рядків {а1,а2,…,аm} і систему векторів – стовпчиків
Ранг системи рядків довільної матриці А дорівнює рангу її стовпчиків і називається рангом матриці А. Позначається rankA або r(A). Таким чином, для знаходження рангу матриці досить з допомогою елементарних перетворень над рядками (стовпчиками) звести її до ступінчастого вигляду і підрахувати кількість ненульових рядків (стовпчиків), яка й дорівнюватиме кількості лінійно незалежних серед них, а, отже, рангу матриці. Приклад. Знайти ранг матриці.
Розвязання. Зведемо матрицю А до ступінчастого вигляду з допомогою елементарних перетворень її рядків:
Отже, r(A)=3. Розмірністю векторного простору V називається максимальна кількість лінійно незалежних векторів, що містяться в ньому. Позначається dimV (від dimage-фр). Наприклад, розмірність множини всіх векторів площини дорівнює два, розмірність множини просторових векторів – три. Простори із скінченною розмірністю називаються скінченновимірними. Базисом простору V називають впорядковану скінченну систему векторів, якщо: 1) вона лінійно незалежна; 2) кожний вектор простору V є лінійною комбінацією векторів цієї системи. Коефіцієнти даної лінійної комбінації називаються компонентами або координатами вектора за цим базисом. В заданому базисі компоненти вектора визначаються однозначно. Дійсно, при двох заданнях вектора х в базисі а1,а2,…,аk, зокрема, В п-вимірному просторі кожна впорядкована лінійно незалежна система із п лінійно незалежних векторів є базисом. Ясно, що в п-вимірному просторі кожну впорядковану лінійно незалежну систему із k<n векторів можна доповнити до базису. Розглянемо в просторі V два базиси: е=(е1,е2,…,еп) та
Можна сказати, що нові базисні вектори виражаються через старі з допомогою матриці
стовпчиками якої є коефіцієнти їх розкладу за векторами старого базису. Матриця А називається матрицею переходу від базису едо базису Розглянемо зв’язок між координатами одного і того ж вектора в старому і новому базисах. Нехай х=х1е1+х2е2+…+хпепі Підставивiи замість
Із єдиності розкладу вектора х за базисом е1,е2,…,еп, випливає
Таким чином, старі координати вектора отримуються із нових з допомогою тієї ж матриці А, тільки коефіцієнти відповідних розкладів утворюють тепер рядки цієї матриці. Приклад. Нехай е1, е2 – одиничні вектори, розташовані вздовж осей прямокутної декартової системи координат. Повернемо осі координат на кут φ проти годинникової стрілки і позначимо нові базисні вектори через (див. малюнок). Тому координати цього вектора в базисі е1, е2 рівні е1, е2 рівні
Таким чином, матриця переходу від базису е1, е2 до базису
Тоді старі координати виражаються через нові так:
звідки
в) Підпростори векторного простору Підпростором векторного простору V називається сукупність V1 його елементів, яка сама є векторним простором відносно введених в V операцій додавання і множення на число. Для встановлення того, що деяка підмножина V1 векторного простору V є його підпростором, досить показати, що для довільних двох векторів х та у із V1 їх сума х+у теж належить V1, і що для довільного вектора Приклади. У звичайному тривимірному векторному просторі підпросторами є всі площини і всі прямі, які проходять через початок координат. Сам простір V і множина із одного нульового елемента теж є підпросторами простору V (тривіальними).
Перетином двох підпросторів V1 і V2 векторного простору V називається множина всеможливих векторів із V, що належить одночасно і V1, і V2. Перетин теж є підпростором і позначається Сумою двох підпросторів V1 і V2 називається множина векторів вигляду Теорема. Якщо V1 і V2 – підпростори векторного простору V, то Доведення. В підпросторі е1, е2,…,еk, fk+1,…,fp (*1) і до базису V2 з другого боку: е1, е2,…,еk, gk+1,…,gs (*2).
Покажемо , що вектори е1, е2,…,еk, fk+1,…, fp, gk+1,…,gs лінійно незалежні. Припустимо, що ці вектори лінійно залежні:
Тоді вектор
належить одночасно і V1, і V2, а, значить, і їх перетину тобто
Звідси і з єдиності розкладу вектора а за базисом простору V1 маємо
Тоді матимемо
звідки, із лінійної незалежності базисних векторів простору V2 маємо
Отже, вектори е1, е2,…,еk, fk+1,…, fp, gk+1,…,gs утворюють лінійно незалежну систему. Але тоді вони утворюють базис простору V1+ V2, оскільки, якщо вектор е1, е2,…, еk, fk+1,…, fp, gk+1,…,gs.
Таким чином, розмірність підпростору V1+ V2 дорівнює
k+(p-k)+(s-k)=p+s-k. Але dimV1=p, dimV2=s,
dimV1+dimV2=p+s і
що й треба довести.
Читайте також:
|
|||||||||||||||||||||||||
|