1. Інтеграли типу раціоналізуються підстановкою , де - найменше спільне кратне . Має бути . Дійсно,
,
де - натуральні числа. Таким чином, підінтегральна функція стала раціональною.
Окремі випадки:
а) , , ,
Інтеграл раціоналізується підстановкою , де - НСК ;
б) ,
Інтеграл раціоналізується підстановкою , де - НСК .
2. Інтеграли типу за допомогою підстановки зводяться до одного з інтегралів:
а) ;
б) ;
в) .
Інтеграл а) зводиться до інтегралу виду підстановкою або ; інтеграл б) зводиться до інтегралу виду підстановкою або ; інтеграл в) зводиться до інтегралу виду підстановкою або .
Інтеграли цього типу раціоналізуються також за допомогою так званих підстановок Ейлера:
1) якщо , то ;
2) якщо , то ;
3) якщо - корені тричлена
,
то , .
3. Інтеграли вигляду , де , називаються інтегралами від диференціальних біномів. Вони раціоналізуються за допомогою підстановок Чебишова у таких випадках:
а) –підстановка , де –найменший спільний знаменник дробів і ;
б) –підстановка , де - знаменник дробу ;
в) –підстановка (), де - знаменник дробу .
Зауваження.Якщо інтеграл цього типу не підходить ні під один з трьох випадків, то його не можна виразити через інтеграл від раціональної функції (він “не береться”). Першим це встановив П.Л.Чебишов (1821-1894рр.)