• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Формули переходу до паралельних осей

Розглянемо визначення моментів інерції плоскої фігури (рис) відносно осей та при відомих моментах інерції відносно осей та .

Рис. 3.1

,

де – статичний момент фігури відносно осі .

Аналогічно відносно осі

.

Відцентровий момент інерції відносно осей і

Найчастіше використовується перехід від центральних осей (власних осей плоскої фігури) до довільних, паралельних. Тоді , , так як осі і є центральними. Остаточно маємо

де , – власні моменти інерції, тобто моменти інерції відносно власних центральних осей;

, – відстані від центральних осей до розглядуваних;

– площа фігури.

Слід відмітити, що при визначенні відцентрового моменту інерції у величинах та повинен бути врахований знак, тобто вони є по суті, координатами центру ваги фігури у розглядуваних осях. При визначенні осьових моментів інерції ці величини підставляють по модулю (як відстані), оскільки вони все одно підносяться до квадрата.

За допомогою формул паралельного переносу можливо здійснювати перехід від центральних осей до довільних, або ж навпаки – від довільних до центральних осей. Перший перехід здійснюється із знаком "+". Другий перехід здійснюється із знаком "–".

Приклади використання формул переходу між паралельними осями

Прямокутний переріз

Визначимо центральні моменти інерції прямокутника при відомих моментах інерції відносно осей і .

; .

.

Аналогічно .

Трикутний переріз

Визначимо центральні моменти інерції трикутника при відомому моменті інерції відносно основи .

.

Відносно центральної осі трикутник має іншу конфігурацію, тому розглянемо наступне. Момент інерції всієї фігури відносно осі дорівнює сумі моменту інерції трикутника відносно осі та моменту інерції трикутника відносно осі , тобто

.

Визначення моменту інерції складеного перерізу

Складеним вважаємо переріз, який складається з окремих елементів, геометричні характеристики яких відомі. Площа, статичний момент та моменти інерції складеної фігури дорівнюють сумі відповідних характеристик їх складових. Якщо складений переріз можна утворити шляхом вирізання однієї фігури із іншої, геометричні характеристики вирізаної фігури віднімаються. Наприклад, моменти інерції складеної фігури, показаної на рис. визначатимуться так

см⁴.

см⁴.

3.2 Визначення моментів інерції при повороті системи координат

Розглянемо визначення моментів інерції плоскої фігури (рис) відносно осей та , повернутих проти годинникової стрілки на кут при відомих моментах інерції відносно центральних осей та .

Рис. 3.2

При повороті системи координат нові координати точки та визначаються залежно від старих координат та за залежностями, відомими з курсу вищої математики

Тоді моменти інерції відносно нових (повернутих) осей визначаться так

Остаточно маємо

де – кут повороту осей координат.

При додаванні осьових моментів інерції в повернутих на кут осях координат будемо мати

.

Тобто, при повороті осей сума осьових моментів інерції не змінюється і дорівнює полярному моменту інерції.

3.3 Головні центральні осі і моменти інерції

Із попереднього цілком очевидним є той факт, що при повороті осей моменти інерції фігури змінюються. При певному значенні кута один із моментів інерції буде мати максимальне значення. Але оскільки сума не змінюється, то в цей час інший момент інерції буде мати мінімальне значення. Дослідимо моменти інерції на екстремум при зміні кута .

Таке ж значення кута отримаємо, прирівнявши до нуля похідну від моменту інерції . Таким чином, відносно осей, повернутих на кут осьові моменти інерції будуть мати екстремальні значення. Визначимо значення відцентрового моменту інерції у цьому випадку.

В інженерній практиці розрахунків важливе значення займають головні центральні осі, відцентровий момент інерції відносно яких дорівнює нулю.

Площина, що проведена через вісь стержня і його головні осі інерції носить назву головної площини перерізу.

3.4 Поняття про радіус інерції.

Момент інерції відносно осі можливо виразити, як добуток площі перерізу фігури на квадрат деякої відстані до цієї осі.

, де – радіуси інерції [м, см].

.

Читайте також:

1. Безпосереднє обчислення з використанням формули Ньютона-Лейбніца.
2. Введення формули в комірку.
3. Вдосконалення нормативно-правової бази міста на етапі переходу до інформаційного суспільства
4. Виведення формул для знаходження площі паралелограма, трикутника, трапеції. Формули для знаходження площ поверхонь просторових геометричних фігур.
5. Вітальні формули
6. Вольт-амперна характеристика ідеалізованого р-п-переходу
7. Вольт-амперна характеристика тонкого р-n переходу
8. Дифракція в паралельних променях на щілині
9. До переходу противника в наступ на позиції відділення постійно несе службу спостерігач.
10. Електронні формули
11. Ємнісні властивості p-n-переходу
12. Загальні хімічні формули

Переглядів: 1222