• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Види опор балок

Рис. 13.2

13.3 Внутрішні сили

Після визначення всіх зовнішніх (активних і реактивних) навантажень можна приступати до задачі про визначення напружень.

Скористаємося методом перерізів. Розглянемо частину балки, відсічену перерізом, який нас цікавить, в якому будемо потім визначати напруження. Оскільки балка після прикладання зовнішніх навантажень знаходиться в рівновазі, то ці навантаження повинні компенсуватись дією шуканих напружень, котрі передаються від відсіченої частини.

Для того, щоб кожен раз при визначенні напружень не враховувати всю систему різноманітних навантажень, останню доцільно привести до стандартного вигляду. Як відомо, будь-яку систему сил в площині можна привести до сили, прикладеної в певній точці та пари сил із відповідним моментом. Для зручності будемо приводити зовнішні навантаження до центра ваги розглядуваного перерізу балки.

Ці узагальнені зусилля будемо називати внутрішніми – відповідно поперечною силою та згинальним моментом.

Поперечна сила Q – внутрішнє зусилля, що дорівнює алгебраїчній сумі проекцій всіх сил, розташованих по одну сторону перерізу на нормаль до осі балки.

Згинальний момент М – внутрішнє зусилля, що дорівнює алгебраїчній сумі моментів всіх сил, розташованих по одну сторону перерізу відносно його центра ваги.

Знаки внутрішніх сил приймаються відповідно до принципу деформування балки (рис.).

Рис. 13.3

13.4 Диференціальні залежності між згинальним моментом,
поперечною силою та поперечним навантаженням

Розглянемо рівновагу частини балки елементарною довжиною , на яку діє довільне розподілене навантаження .

Рис. 13.4

Сума зусиль, які діють у вертикальному напрямку

.

Звідси

,

тобто похідна від функції поперечної сили дорівнює інтенсивності розподіленого навантаження.

Сума моментів відносно т.

У цьому рівнянні доданок є нескінченно малою величиною другого порядку мализни, інші доданки – першого порядку, тому вказаним доданком можна знехтувати. Тоді

.

Таким чином, між внутрішніми силами та інтенсивністю розподіленого навантаження існують такі диференціальні залежності

.

Лекція 14 Напруження при згині

1. Нормальні напруження. Формула Нав’є

2. Дотичні напруження. Формула Журавського

14.1 Нормальні напруження. Формула Нав’є

При згині відбувається викривлення осі балки (Рис. 14.1). При цьому частина перерізу піддається деформаціям розтягу, інша частина – деформаціям стиску. Між цими частинами знаходиться нейтральний шар, поздовжні деформації в якому дорівнюють нулю. Таким чином, при згині нейтральний шар не змінює своєї довжини.

Приймаємо гіпотези:

– гіпотеза плоских перерізів;

– поздовжні волокна не тиснуть одне на одного;

– напруження і деформації розподіляються рівномірно по ширині перерізу.

Рис. 14.1

Абсолютне видовження шару, який знаходиться на відстані від нейтрального шару

.

Відносне видовження точок на відстані від нейтрального шару

.

– закон Гука при згині.

Нормальні напруження

.

Таким чином, поздовжні напруження і деформації точок балки при згині прямо пропорційні їх відстані від нейтрального шару.

При цьому невідомим залишається положення нейтрального шару. Для його визначення скористаємося тим фактом, що при згині в перерізі не виникає поздовжньої сили ().

,

де – статичний момент площі перерізу відносно осі .

Як наслідок, , тобто вісь повинна бути центральною, тобто нейтральний шар проходить через центральні осі перерізів.

Рис. 14.2

Запишемо вираз згинального моменту у перерізі залежно від напружень . На елементарній площадці виникає зусилля . Момент від цього зусилля відносно осі (осі згину)

.

Інтегруємо по площі перерізу

,

де – момент інерції перерізу відносно осі згину.

,

де – кривизна балки;

– жорсткість перерізу при згині.

Нормальні напруження

.

Таким чином, нормальні напруження при згині визначаються як

– формула Нав’є.

Максимальні нормальні напруження у перерізі будуть виникати у найбільш віддалених від осі згину точках перерізу.

,

де – момент опору перерізу відносно осі згину.

14.2 Дотичні напруження. Формула Журавського

Оскільки при згині крім згинального моменту виникає поперечна сила , поряд із нормальними напруженнями в перерізі будуть виникати дотичні напруження , величина яких буде залежати від значення поперечної сили.

За законом парності дотичних напружень, вони виникають не тільки у площині перерізу , а й у перпендикулярній площині .

Рис. 14.3

Виділимо із балки елементарний об’єм довжиною , відсічений рівнем, на якому визначаємо дотичні напруження. Площа перерізу відсіченої частини . На елементарній довжині згинальний момент збільшується на величину , нормальні напруження – відповідно на величину . Розглянемо рівновагу елементарного об’єму під дією нормальних та дотичних напружень.

,

де .

,

де – статичний момент розглянутої відсіченої частини перерізу.

.

Оскільки , маємо

– формула Журавського,

де – поперечна сила в розглядуваному перерізі;

– статичний момент частини перерізу, відсіченої рівнем, на якому визначаються напруження;

– ширина перерізу на рівні, на якому визначаються напруження;

– момент інерції перерізу.

14.3 Раціональні форми перерізу балок

Раціональними формами перерізу балок є такі перерізи, які мають найвищі геометричні характеристики (момент інерції – з точки зору максимальної жорсткості та момент опору – з точки зору максимальної міцності) при сталій площі перерізу . При цьому необхідно врахувати, що висота перерізу обмежена.

Ідеальним випадком компоновки перерізу є розміщення всієї площі по верхній та нижній гранях, тобто у місцях із максимальними напруженнями.

Рис. 14.4

Момент інерції цього перерізу

Момент опору

– теоретично максимально можливе значення моменту опору перерізу.

У реальних перерізів значення буде меншим і по ньому можна судити про раціональність того чи іншого перерізу.

Для прямокутника .

Для круга .

Для трубчастого перерізу при відношенні діаметрів .

Для прокатних профілів

– двотаври

– швелери

– кутики нерівнополичні

– кутики рівнополичні

Всі попередні висновки стосуються матеріалів, які мають однакові допустимі напруження на розтяг і стиск.

Для матеріалів, для яких допустимі напруження на розтяг значно менші від допустимих напружень на стиск (такі матеріали як чавун) доцільно розподіл матеріалу в перерізі зробити так, щоб максимальні напруження і в стиснутій і в розтягнутій зоні були рівні допустимим. Для цього необхідно збільшити площу перерізу розтягнутої зони, тобто раціональним буде несиметричний переріз.

Рис. 14.5

Лекція 15 Розрахунок двотаврової балки
за нормальними та дотичними напруженнями

1. Розрахунок двотаврової балки

2. Інтегральний метод побудови епюр

Рис. 15.1

Для початку перед побудовою епюр внутрішніх сил визначимо реакції опор.

кН.

кН.

Записуємо рівняння внутрішніх сил та знаходимо їх значення.

– ділянка 1 (м)

кНм.

– ділянка 2 (м)

кН, кН.

Знаходимо координату точки, у якій .

м.

кНм, кНм.

Екстремальне значення згинального моменту

кНм.

– ділянка 3 (м) – розглядаємо праву відсічену частину.

кН.

кНм.

– ділянка 4 (м) – розглядаємо праву відсічену частину.

кН. кН.

кНм. кНм.

По обчисленим точкам будуємо епюри поперечних сил та згинальних моментів.

Максимальні (по модулю) значення поперечної сили та згинального моменту у балці вказують на положення небезпечних перерізів. Так, небезпечним перерізом за дотичними напруженнями є переріз із максимальним значенням поперечної сили кН зліва від опори В. Небезпечним перерізом за нормальними напруженнями є переріз із максимальним значенням згинального моменту кНм – у прольоті у місці екстремуму.

Також небезпечним може виявитися переріз із одночасно високими значеннями поперечної сили та згинального моменту (переріз справа від сили F).

Як показує практика, у балках як правило, нормальні напруження є на порядок більшими, ніж дотичні. Тому підбір поперечного перерізу проводиться, використовуючи умову міцності за нормальними напруженнями

,

звідки мінімальний момент опору перерізу визначається як

см³.

За сортаментом підбираємо двотавр №45 із такими характеристиками:

– момент опору W=1231см³;

– статичний момент половини перерізу Sx=708см³;

– момент інерції Ix=27700см⁴.

Напруження для вибраного перерізу можна побудувати, використовуючи формулу Нав’є – для нормальних напружень та формулу Журавського – для дотичних.

– нормальні напруження;

– дотичні напруження.

Побудовані за цими формулами епюри показані на рис. 14.2 – 14.4.

Рис. 15.2 Епюри в перерізі, небезпечному за нормальними напруженнями

Рис. 15.3 Епюри в перерізі, небезпечному за дотичними напруженнями

Рис. 15.4 Епюри в перерізі, небезпечному за головними напруженнями

У двотавровому перерізі головні напруження перевіряються у точці переходу від полички до стінки, де вони можуть перевищити допустимі

МПа,

що менше допустимих напружень.

У випадку перебільшення головними напруженнями допустимих, необхідно перевірити наступний по сортаменту переріз.

Лекція 16 Пружно – пластичний згин балок

У поперечних перерізах балки при згинанні нормальні напруження в пружному стані матеріалу розподіляються нерівномірно, лінійно змінюючись по висоті балки (рис. 16.1, а).

а	б	в

Рис. 16.1. Розрахунки при згинанні

Найбільші нормальні напруження в найбільш вилучених від нейтральної лінії точках поперечного перерізу визначаються по формулі

.

При розрахунку на міцність по допустимим напруженням, запас міцності визначається як відношення границі текучості матеріалу до найбільшого напруження. Цим саме за небезпечний приймається стан балки, що відповідає досягненню найбільшими нормальними напруженнями в небезпечних перерізах границі текучості. Такий стан лише умовно можна вважати небезпечним. Балка ще зберігає здатність сприймати згинаючий момент, що збільшується.

Визначимо величину граничного згинального моменту у випадку чистого згинання. Розглянемо спочатку балку, поперечні перерізи якої мають дві осі симетрії. Границі текучості при розтяганні й стисканні будемо вважати однаковими.

Після появи плинності в найбільш вилучених від нейтральної осі точках перетину при подальшому збільшенні згинального моменту пластичний стан матеріалу поширюється в напрямку до нейтральної осі. До повного вичерпання несучої здатності балки в її поперечних перерізах будуть дві зони — пластична й пружна (рис. 16.1, б). Граничний стан наступить, коли плинність пошириться по всьому поперечному перерізу, так як після цього подальша деформація балки відбувається без збільшення згинального моменту. Епюра нормальних напружень у поперечному перерізі для граничного стану зображена на рис. 16.1, в. У розглянутому поперечному перерізі утвориться так званий пластичний шарнір, що передає постійний момент, рівний граничному згинальному моменту.

Граничний момент можна обчислити як суму моментів щодо нейтральної осі сил у поперечному перерізі (рис. 16.1, в):

де — статичний момент площі половини поперечного переріза щодо нейтральної осі.

Величину прийнято називати пластичним моментом опору й позначати . Тоді

Для прямокутного поперечного перерізу, що має ширину й висоту

Небезпечна величина згинального моменту при розрахунку по допустимим напруженням

Відношення

характеризує ступінь збільшення запасу міцності балки при переході до розрахунку по граничному стану. У випадку балки прямокутного перетину

Для двотаврових прокатних балок у середньому . Якщо перетин балки має тільки одну вісь симетрії в площині навантаження (рис. 13.12), то в граничному стані нейтральна вісь не пройде через центр ваги поперечного перерізу.

Рис. 16.2. Перетин з однією віссю симетрії

Положення нейтральної осі визначається з рівності нулю суми проекцій на вісь балки всіх сил , розподілених по її перетину:

де — площа розтягнутої зони перетину;

— площа стиснутої зони.

Звідси одержуємо , , тобто у граничному стані нейтральна вісь перетину повинна ділити його площу навпіл.

Граничний згинальний момент

де — статичний момент розтягнутої зони перетину щодо нейтральної осі;

— абсолютна величина статичного моменту стислої зони перетину щодо тої ж осі.

У цьому випадку пластичний момент опору

Наведені міркування щодо визначення граничного стану, еквівалентного утворенню пластичного шарніра в поперечному перерізі балки, строго говорячи, справедливі тільки для чистого згинання, коли немає дотичних напруг. Визначення граничного стану з урахуванням поперечної сили більш складно. Це питання тут не з'ясовується.

Розглянемо приклад розрахунку балки на вигин по допускаються напруженням, що, і по граничному стані без обліку впливу поперечної сили.

Балка прямокутного поперечного перерізу, затиснена по кінцях, несе рівномірно розподілене по довжині навантаження інтенсивності (рис. 16.3, а). Визначити найбільшу інтенсивність цього навантаження, припустиму відповідно до розрахунку по допустимому напруженню, і по граничному стану при тому самому запасі міцності .

а
б

Рис. 16.3. Розрахунок без врахування впливу поперечної сили

Розрахунок по допустимим напруженням. Балка статично невизначена. Її розрахунок істотно спрощується завдяки симетрії. Знаходимо зайві невідомі та будуємо епюру згинальних моментів (рис. 16.3, а). Найбільше значення згинального моменту має в опорних затиснених перетинах:

При збільшенні навантаження максимальні напруження в цих же перетинах насамперед досягнуть границі текучості. Приймаючи запас міцності по границі текучості рівним , знайдемо найбільшу припустиму інтенсивність навантаження з умови міцності:

Враховуючи, що , a , одержуємо

Розрахунок по граничному стану. Після появи пластичних деформацій у найбільш вилучених від нейтральної осі точках опорних перетинів подальший ріст навантаження приведе до утворення в цих перетинах пластичних шарнірів, а згинальний момент при цьому досягне граничного значення . Тепер вже балка працює як шарнірно обперта, до якої на опорах прикладені постійні моменти (рис. 16.3, б)

При подальшому рості навантаження ці моменти зберігають своє значення, і задача стає статично визначеною. У пролітних перетинах величини згинальних моментів будуть зростати, поки посередині прольоту момент не стане рівним тій же величині , тобто поки не утвориться пластичний шарнір. При цьому три пластичних шарніри розташуються на одній прямій, тому подальший ріст навантаження неможливий. Несуча здатність балки вичерпається.

Умова рівності згинальних моментів в опорних перетинах і посередині прольоту має вигляд

звідки знаходимо, що

Дорівнюючи праві частини формул (19.51) і (19.53), знайдемо:

Приймаючи запас міцності рівним одержимо найбільшу припустиму інтенсивність навантаження:

Відношення найбільших припустимих навантажень при розрахунках по граничному стану й по допускаючому напруженню

.

Розрахунок по граничному стану часто дозволяє розкрити додаткові резерви міцності. Як вказувалося вище, він одержав широке поширення при розрахунку будівельних конструкцій

Розрахунок по граничному стану з певним запасом міцності не гарантує від появи місцевих пластичних деформацій. Останнє ще припустимо при постійних навантаженнях, які мають місце переважно в будівельних конструкціях. При змінних навантаженнях, на яких найчастіше доводиться розраховувати машинобудівні конструкції, поява пластичних деформацій у багатьох випадках неприпустимо. Тому в таких випадках варто вести розрахунок по допустимим напруженням.

Лекція 17 Кручення круглих стержнів

Кручення — це такий вид деформації бруса, при якому в його поперечних перерізах виникає тільки один внутрішній силовий фактор — крутний момент .

Деформація кручення виникає при навантаженні стержня парами сил, площини дії яких перпендикулярні до його поздовжньої осі.

На рис. а зображений брус, що працює на крутіння під дією прикладених до нього крутних моментів. Це умовне зображення моментів рівнозначно показаному на рис. б.

Рис. 17.1 Позначення крутних моментів

Досліди показують, що:

– витримується гіпотеза плоских перерізів;

– перерізи при крученні не деформуються;

– відстані між поперечними перерізами не змінюються;

– вісь стержня залишається прямою (не згинається);

– деформація кручення вала пов’язана із деформацією зсуву.

Застосовуючи метод перерізів і розглядаючи рівновагу відсіченої частини, доходимо висновку, що внутрішні сили, що виникають у поперечному перерізі бруса, повинні приводитися до крутного моменту, що врівноважує зовнішні моменти, прикладені до відсіченої частини.

Отже, крутний момент, що виникає в довільному поперечному перерізі бруса, чисельно дорівнює алгебраїчній сумі крутних моментів прикладених до відсіченої частини.

Уявлення про характер деформації можна одержати, піддаючи скручуванню гумову модель бруса з нанесеної на її поверхні сіткою поздовжніх і поперечних рисок (рис а). Поперечні риски не викривляються, і відстані між ними не змінюються, що можна розглядати як підтвердження першого й другого допущень. Поздовжні ризики звертаються у гвинтові лінії (рис. б).

Рис. 17.2 Деформації кручення

Справедливість прийнятих допущень підтверджується, крім того, і тим, що отримані на основі їх формули збігаються з формулами, отриманими в теорії пружності без цих допущень, і добре узгоджуються з експериментальними даними.

Розглянемо брус, жорстко затиснений одним кінцем і навантажений на вільному кінці крутним моментом . При деформації бруса його поперечні перерізи повернуться на деякі кути стосовно свого первісного положення.

Рис. 17.3 Жорстко затиснений брус

Кут повороту буде тим більше, ніж далі відстоїть даний переріз від закладення. Так, для довільного перерізу I, що відстоїть від закладення на відстань , вона дорівнює , а для перерізу II — . Тут — кут повороту перерізу II відносно I, або кут закручування елементу бруса довжиною .

Взагалі кут повороту довільного перерізу дорівнює куту закручування частини бруса, укладеної між цим перерізом і закладенням. Таким чином, кут повороту торцевого перерізу являє собою повний кут закручування розглянутого бруса.

Застосовуючи метод перерізів, легко переконатися, що крутний момент у всіх поперечних перерізах бруса однаковий: . Виразимо його через дотичні напруження, що виникають у поперечному перерізі. При цьому врахуємо, що в будь-якій точці поперечного перерізу дотичне напруження спрямоване перпендикулярно до радіусу, проведеному в цю точку (рис. 14.4).

Рис. 17.4 Дотичне напруження

Такий напрямок напруг слідує з характеру деформації: при повороті довільного поперечного перерізу кожна його точка (крім лежачої на осі бруса) переміщається по дузі окружності, концентричної контуру перерізу. Іншими словами, напрямок цього переміщення, а значить і виникаючого в цій точці дотичного напруження, перпендикулярний відповідному радіусу.

Рис. 17.5 Напрямок переміщення й дотичного напруження

Елементарна дотична сила, яка приходиться на площадку , дорівнює , а її момент щодо осі (точки О):

Підсумовуючи ці елементарні моменти, одержуємо наступний вираз для крутного моменту:

Хоча крутний момент може розглядатися як відома величина (визначається за допомогою методу перерізів через задані зовнішні моменти), використовувати вираз для обчислення дотичних напружень неможливо, тому що закон їхнього розподілу по поперечному перерізі поки невідомий. Для з'ясування цього закону розглянемо більш докладно питання про деформації.

Виділимо частину бруса двома нескінченно близькими поперечними перерізами. Будемо вважати виділену частину брусу затиснену в перерізі I (рис.15.5), що цілком припустимо, тому що нас цікавлять її деформації, а не переміщення в просторі як твердого тіла. Точка В, узята на контурі перерізу II, у результаті його повороту на кут перейде в положення Деформація зрушення відповідного елемента бруса (торець цього елемента, що лежить у перерізі II, зачернений) характеризується кутом зрушення Із прямокутного трикутника , з огляду на те, що , і в силу малості деформацій одержуємо

.

Виділяючи подумки з розглянутої частини бруса циліндр довільного радіуса, і повторюючи ті ж міркування, маємо

.

Застосовуючи закон Гука для зсуву , одержуємо наступний вираз для дотичного напруження

.

Підставляючи (7.6) в (7.4), одержуємо

.

При інтегруванні по площі поперечного перерізу величина постійна й, так само як і G, може бути винесена за знак інтегралу:

.

Інтеграл, що входить у вираз , являє собою полярний момент інерції перерізу (див. розділ 2), отже,

.

звідки

.

Підставимо (7.8) в (7.6):

.

Формула (7.9) дозволяє визначити величину дотичного напруження в будь-якій точці поперечного перерізу. Із цієї формули слідує, що дотичні напруження розподілені уздовж будь-якого радіусу перерізу за лінійним законом.

Епюри дотичних напружень для круглих суцільних і кільцевого поперечних перерізів показані на рис. 15.6.

Рис. 17.6 Розподіл дотичних напружень при крученні

У точках, рівновіддалених від центра перетину, напруги однакові. Найбільшого значення дотичні напруження досягають у точках контуру поперечного перерізу. Вони можуть бути визначені шляхом підстановки в (7.9) замість його найбільшого значення, тобто :

.

Величина являє собою полярний момент опору, отже, одержимо наступний вираз для максимального дотичного напруження:

.

Умова міцності при крученні суцільного круглого вала матиме вигляд

.

Формулу для кутів закручування одержимо, інтегруючи (7.8):

.

В окремому випадку, якщо діаметр бруса постійний і крутний момент має у всіх перерізах однакове значення,

.

У випадку сталості крутного моменту лише в межах окремих ділянок бруса або східчастої зміни його поперечного перерізу формулу (7.13) можна застосовувати тільки по ділянках.

Добуток називають жорсткістю перерізу круглого бруса при крученні. Модуль зсуву характеризує властивості матеріалу, а полярний момент інерції є геометричною характеристикою бруса.

17.1 Визначення діаметра валу з умов міцності та жорсткості

Для заданого вала (рис. 16.6) підібрати діаметри ділянок та побудувати епюру кутів закручування. Матеріал вала – сталь Ст20ХН.

Для підбору діаметра вала необхідно визначити крутні моменти на окремих ділянках. Крутні моменти визначаємо за методом перерізів на всіх ділянок:

– ділянка 1: М_I = M₁ = 200Н∙м

– ділянка 2: М_II =M₁+M₂ = 200+189 = 389 Н∙м

– ділянка 3: М_III =M₁+M₂-M₃ = 200+189-133 = 256 Н∙м

– ділянка 4: М_IV = M₁+M₂-M₃-M₄ = 200+189-133-222 = 34Н∙м.

Для заданого матеріалу Ст20ХН межа міцності дорівнюєs_T=450МПа, допустимі нормальні напруження [s] = 250 МПа, допустимі дотичні напруження [t] = 0,57∙[s] = = 142 МПа.

Рис. 17.7

Діаметр вала визначається з умови міцності як .

Визначаємо його для кожної ділянки

см см

см см

Округляємо ці значення діаметрів до цілих чисел (в міліметрах)

d₁ = 20 мм d₂ = 24 мм d₃ = 21 мм d₄ = 11 мм

Кут закручування визначимо по формулі ,

де Па – модуль зсуву сталі.

– полярний момент інерції круглого перерізу.

рад

рад

рад

рад

Будуємо епюру кутів закручування, починаючи від лівого кінця стержня. Кут закручування правого кінця відносно лівого

f=0,196+0,153+0,207+0,457 = 1,01 рад.

Лекція 18 Перевірка міцності
при складному напруженому стані.
Теорії міцності

План лекції:

1. Поняття про теорії міцності.

2. Теорії крихкого руйнування (теорії відриву).

3. Теорії в’язкого руйнування (теорії зрізу).

18.1 Поняття про теорії міцності

Експериментальне визначення руйнуючих напружень для будь-якого матеріалу у випадку лінійного напруженого стану (при розтягу або стиску) не викликає ускладнень.

У випадку складного напруженого стану, який характеризується трьома головними напруженнями, експериментальне визначення руйнуючих напружень значно ускладнюється. Крім цього, кількість варіантів співвідношень між головними напруженнями нескінченна, тому експериментально охватити весь діапазон можливих руйнуючих напружень матеріалу неможливо.

У цьому випадку корисним було б отримання умов міцності матеріалу при складному напруженому стані, використовуючи результати експериментальних досліджень при лінійному напруженому стані. Ця задача може бути вирішена шляхом приведення системи головних напружень до певного значення (еквівалентного напруження ), котре відповідає моменту руйнування матеріалу і не залежить від співвідношення між головними напруженнями. Значення еквівалентного напруження може бути визначено експериментально при лінійному напруженому стані. Всі теорії міцності мають вигляд гіпотез.

18.2 Теорії крихкого руйнування (теорії відриву)

Перша теорія міцності: причиною руйнування вважається найбільше головне напруження в матеріалі

.

Для випадку плоского напруженого стану балок, коли відомими є нормальні поздовжні напруження та дотичні

,

тобто

.

Недоліками цієї гіпотези є неврахування двох інших головних напружень.

Друга теорія міцності: причиною руйнування вважаються найбільші відносні лінійні деформації

.

При об’ємному напруженому стані

.

Оскільки при лінійному напруженому стані , то

Перші дві теорії дають хороші результати тільки для дуже крихких матеріалів: скло, фарфор, кераміка, цегла та ін.

Третя теорія міцності: причиною руйнування вважаються найбільші дотичні напруження

При об’ємному напруженому стані

При лінійному напруженому стані

Еквівалентне напруження

.

Для випадку плоского напруженого стану

,

тобто

.

Ця теорія застосовується в основному для пластичних матеріалів. Її основний недолік – не враховується одне із головних нормальних напружень.

Четверта (енергетична) теорія міцності: причиною руйнування вважається питома потенційна енергія формозміни.

.

При об’ємному напруженому стані

.

При лінійному напруженому стані

.

Тобто

.

Еквівалентне напруження

.

Для випадку плоского напруженого стану

.

Ця теорія знайшла найкраще застосування для пластичних матеріалів.

Теорія міцності Мора використовується для крихких матеріалів, котрі по різному чинять опір розтягу і стиску.

,

де , – допустимі напруження на розтяг і стиск.

Лекція 19 Втома матеріалу.
Концентрація напружень

19.1 Змінні навантаження. Втома матеріалу

Опір матеріалів дії навантажень, що міняються в часі по величині або по величині й знаку, істотно відрізняється від опору дії статичного навантаження. При цьому під дією змінних навантажень елементи конструкцій руйнуються при значно менших напруженнях, чим під дією статичних навантажень.

Практикою встановлено, що якщо елемент тої або іншої конструкції багаторазово піддавати змінному навантаженню, то після певного числа змін напружень у ньому з'явиться тріщина, що поступово буде розвиватися. Зрештою, деталь зруйнується, не давши при цьому помітних залишкових деформацій навіть у тому випадку, коли матеріал її високо пластичний.

Число циклів до появи першої тріщини й до повного руйнування стрижня буде тим більше, чим менше напруження. Характерно, що руйнування матеріалу під дією повторно-змінних навантажень може відбутися при напруженнях нижче границі текучості. Руйнування матеріалу під дією повторно-змінних напружень називається руйнуванням від утоми.

Взагалі ж, утомою матеріалів (зокрема металів) називають явище руйнування в результаті поступового нагромадження в них ушкоджень, що приводять до виникнення втомної тріщини при багаторазовому повторенні навантажень.

Здатність металів пручатися руйнуванню при дії повторно-змінних напружень називається витривалістю матеріалу.

Для руйнування від утоми недостатньо змінності напружень. Необхідно також, щоб напруження мали певну величину.

Максимальне напруження, при якому матеріал здатний пручатися, не руйнуючись, при будь-якої довільно великої кількості повторень змінних навантажень, називається границею витривалості, або границею утоми.

Злам деталі від утоми має характерний вигляд. На ньому майже завжди можна спостерігати дві зони. Одна з них – гладка, притерта, утворена внаслідок поступового розвитку тріщини; інша - грубозерниста, що утворилася при остаточному зламі ослабленого розвиненою тріщиною перетину деталі. Друга зона в крихких деталях має крупнокристалічну, а в пластичних – волокнисту будова.

Границю витривалості визначають експериментально. Вона залежить від цілого ряду факторів, зокрема, від форми й розмірів деталі, способу її обробки, стану поверхні деталі, виду напруженого стану (розтяг-стиск, кручення, згин і т.п.), закону зміни навантаження в часі при випробуваннях і т.п.

Границя втоми при симетричному циклі є мінімальною для даного типу деформації й позначається через . У випадку напружень, що змінюються від нуля до максимуму, тобто при віднульовому, або пульсуючому, циклі, коли , а границя втоми, що відповідає даному циклу, позначається через .

19.2 Методи визначення границі витривалості. Діаграми утоми

Щоб визначити границю витривалості того або іншого матеріалу, потрібно на випробувальній машині випробувати партію зразків з даного матеріалу в кількості не менш 6—12 шт. Для цього найчастіше беруть гладкі циліндричні зразки діаметром 7—10 .

У лабораторних умовах симетричний цикл здійснити простіше, ніж будь-який інший. Схема найпростішої установки для визначення границі витривалості при згинанні у випадку симетричного циклу показана на рис.

Рис. 19.1 Схема установки для визначення границі витривалості

При випробуванні партії зразків з метою одержання границі витривалості необхідно давати такі навантаження на окремі зразки, щоб вони руйнувалися, витримавши різне число циклів навантаження.

Обробка отриманих експериментальних даних звичайно супроводжується побудовою кривої утоми, що у літературі часто називається кривою Веллера (рис.7.2).

Рис. 19.2 Крива Веллера

Будуючи криву утоми по точках зразків, що зруйнувалися, легко переконатися, що, наприклад, при випробуванні сталі (рис. 17.2, крива ), при високому рівні напружень крива круто падає, а в міру зниження їх крутість зменшується, і крива асимптотично наближається до деякої горизонтальної прямої, що відтинає на осі ординат відрізок, величиною якого й визначається границя витривалості. Ордината точки на кривій, де остання практично починає збігатися із зазначеної асимптотою, відповідає такому напруженню, при якому зразок не зруйнується, пройшовши число циклів, що відповідає заздалегідь заданій величині, так званій базі випробування .

Для чорних металів (стали, чавуну й т.п.) за базу випробувань звичайно приймають 10 млн. циклів, а для кольорових (міді, алюмінію, і т.п.) — число, в 5—10 разів більше.

Рис. 19.3

Найбільш важливим фактором, що знижує границю витривалості, є концентрація напружень, викликана різкою зміною перетину деталі. Концентраторами напружень на практиці є шпонкові канавки, отвори в деталі, нарізки на поверхні, малі радіуси закруглень у місцях різкої зміни розмірів перерізу. Концентрація напружень, як правило, сприяє зародженню втомної тріщини, що, розвиваючись, призводить, зрештою, до руйнування деталі.

Чутливість металу до концентрації напружень у грубозернистих сталей менше, ніж у дрібнозернистих. Метали й сплави з неоднорідною структурою, такі, як, наприклад, сірий чавун, мають знижену чутливість до концентрації напружень внаслідок того, що структурна неоднорідність є внутрішнім джерелом., концентрації напружень і знижує границю витривалості гладких зразків, так як зовнішні концентратори вже мало знижують границю витривалості.

У більшості випадків поверхневі шари елемента конструкції, підданого дії циклічних навантажень, виявляються більше напруженими, чим внутрішні (зокрема, це має місце при згині й крученні). Крім того, поверхня деталі майже завжди має багато дефектів, пов'язаних з якістю механічної обробки, а також з корозією внаслідок впливу навколишнього середовища. Тому втомні тріщини, як правило, починаються з поверхні, а погана якість останньої приводить до зниження опору утоми.

Шкідливий вплив мікронерівностей поверхні в багатьох випадках зм'якшується пластичною деформацією, викликуваної в поверхневому шарі механічною обробкою й поширюється на деяку глибину, що залежить від режимів різання й, зокрема, від величини подачі. При грубому обточуванні вона може досягати 1 мм й більше, а при шліфуванні й поліруванні виміряється сотими частками міліметра й мікронами. Пластична деформація поверхневого шару може дати підвищення границі витривалості на 10-20%.

На границю витривалості істотний вплив робить корозія. Цей вплив буде різним у тому випадку, коли метал, що піддавалися корозії до випробування на утому, не піддається їй при випробуваннях, і у випадку, коли метал піддається корозії під час випробувань. В обох зазначених випадках, особливо в другому, корозія викликає різке зниження границь витривалості, що доходить до 70-80%. При цьому зниження границі витривалості при наявності корозії тим більше сильно виражено, чим вище межа міцності металу й чим більше останній схильний до корозії.

З підвищенням температури границя витривалості звичайно падає, а зі зниженням її - росте як у гладких зразків, так і в зразків з концентраторами.

При підвищених температурах навіть при дуже великій кількості циклів крива утоми не має горизонтальної ділянки. Так, для гладких зразків навіть при 100 млн. циклів горизонтальна ділянка не спостерігається.

Читайте також:

1. Класифікація зварних балок.
2. Конструктивний розрахунок головних балок
3. Конструкція і армування балок проміжних будов з натягом арматури на бетон
4. Лінії впливу внутрішніх зусиль для балок
5. Порядок та методи розрахунку балок
6. Розрахунок балок на міцність
7. Розрахунок головних балок балочних мостів
8. Стики балок.
9. Умови роботи підкранових балок.

Переглядів: 3908