• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Постановка задачі багатопараметричної оптимізації

Лекція №7. Оптимізація задач з функціями декількох змінних

Вивчення методів рішення оптимізаційних задач з декількома змінними основано на матеріалах одновимірних методів. Проте такі задачі, які мають два і більше параметрів, значно складніші за однопараметричні. Ця складність зростає, коли задачі безумовної оптимізації стають задачами умовної оптимізації, тобто появляються обмеження на параметри оптимізації. Трудність в рішенні таких задач зростає, коли серед обмежень на параметри оптимізації є нелінійні обмеження.

Особливо ускладнює рішення багато­параметричних нелінійних задач наявність локальних екстремумів, серед яких необхідно знайти глобальний, - це, так звані, багатоекстремальні задачі. Тому проблема вибору числового методу рішення цього класу задач досить складна і вимагає розуміння як математичного апарату методів рішення оптимізаційних задач, так і знання технологічних аспектів вирішуємої задачі.

При вирішенні задачі нелінійної багатопараметричної оптимізаціїї постановкою задачі оптимізації передбачається необхідність знаходження мінімума цільової функції:

, ( 7.1 )

де X -вектор параметрів оптимізації X = (x₁, x₂, ... , x_N) з розмірністю N, підмножини D; D - область допустимих значень параметрів; f(X) - нелінійна скалярна функція визначена підмножиноюX, яка має кінцеве значення.

При рішенні задач умовної оптимізації вводяться обмеження на параметри оптимізації типу нерівностей і рівностей:

g_i(X) £ 0, i = 1, 2, ..., K; ( 7.2 )

h_i(X) = 0, i = K+1, ..., M,

де, як правило, обмеження нерівності g_i(X) при i = 1, 2, ..., K показують технічні характеристики процесу або технологічної структури, а обмеження рівності h_i(X) при i = K+1, ... , M відображають технологічні і фізичні закони, які використовуються в моделі.

Для рішення задач з обмеженнями розроблені лише алгоритми локальної оптимізації, знаходження локальних мінімумів. Алгоритми глобальної оптимізації для багатоекстремальних задач розроблені лише для простих обмежень з прямокутною допустимою областю: D = {X: a_i £ x_i £ b_i, i = 1,..N}. При використанні методів умовної локальної оптимізації з обмеженнями вибір напрямку спуску визначається не тільки зменшенням значення цільової функції, але і обмеженнями. Крок руху вибирається таким чином, щоб зменшуючи значення цільової функції, не вийти з області допустимих значень.

На практиці визначити, багатоекстремальна задача чи ні дуже важко. Факт наявності багатьох екстремумів визначається в процесі рішення задачі, коли, шукаючи оптимум з декількох початкових точок, знаходять декілька екстремумів.

Нелінійна цільова функція може бути випуклою і невипуклою, диференційованою і такою, для якої похідна не існує. Краще мати справу з випуклою функцією, бо тоді задача має один екстремум, і з диференційованою, бо вирішується більш простими методами. Якщо цільова функція диференційована, то з курсу математичного аналізу відомо, що оптимум може бути в точках розриву функції f(X), або її градієнта Ñf(X).

При рішенні задач багатопараметричної оптимізації використовують деякі визначення.

Нормою вектора параметрів оптимізації X називається довжина вектора, яка визначається відстанню від початку координат багатовимірного простору до точки X, і рахується за однією з формул:

або або ( 7.3 )

Необхідними умовами наявності локального мінімума в точці X^*є виконання рівності Ñf(X^*) = 0, і умови додатньої напіввизначеності матриці Ѳf(X^*). Тут Ñf(X) вектор, градієнт, перших частинних похідних функції f(X):

, ( 7.4 )

а Ѳf(X) матриця других частинних похідних, гессіан, функції f(X):

( 7.5 )

Значення матриці других частинних похідних визначається по рівняннях курсу лінійної алгебри.

Читайте також:

1. Алгоритм розв’язання задачі
2. Алгоритм розв’язання розподільної задачі
3. Алгоритм розв’язування задачі
4. Алгоритм розв’язування задачі
5. Алгоритм розв’язування задачі
6. Алгоритм розв’язування задачі
7. Алгоритм розв’язування задачі
8. Алгоритм розв’язування задачі
9. Алгоритм розв’язування задачі оптимізації в Excel
10. Аналіз інформації та постановка задачі дослідження
11. Визначення коефіцієнтів рівнянь лінійної регресії для багатофакторної задачі
12. Визначення множини допустимих планів задачі ЛП

Переглядів: 1147