Розв’язок плоскої задачі теорії пружності методом тригонометричних рядів Рибьєра-Фурьє.

В якості функції напружень φ (x, y) можна прийняти тригонометричні ряди. Дослідимо тригонометричну функцію:

(5.13)

де Y – функція, яка залежить тільки від координати y;

(5.14)

n – будь-яке ціле число; ℓ - довжина пластинки в напрямку осі х.

З’ясуємо, при яких умовах функція φ буде бігармонічною, тобто задовольнятиме умову (5.5). Підрахуємо четверті похідні функції φ:

Підставивши їх в рівняння (5.5), отримаємо:

або

Це рівняння обертається на тотожність при будь-якому значенні аргументу х, якщо Y(y) задовольняє диференціальному рівнянню

розв’язок якого можна представити за допомогою гіперболічних функцій:

(5.15)

Підставивши цей розв’язок в вираз (5.13), отримаємо бігармонічну функцію у вигляді:

Аналогічно можна довести, що функція

також є бігармонічною і може бути застосована для розв’язку плоскої задачі.

Якщо числу n в співвідношенні (5.14) надавати різні значення, то кожен раз будуть отримані нові функції, які будуть відрізняються значеннями параметра α та сталими A_n, B_n, C_n, D_n. Тому загальний розв’язок бігармонічного рівняння (5.5) може бути представлений, як сума всіх його можливих особистих розв’язків, тобто у вигляді нескінченного ряду:

(5.16)

Сталі A_n, B_n,… C_n', D_n' визначаються з умов на контурі. Навантаження на контурі повинно бути розкладено в тригонометричний ряд Фур’є за синусами та косинусами.

За допомогою функції напружень (5.16), додаючи при потребі ступеневі поліноми, можна отримати розв’язок для більш широкого кола задач, ніж за допомогою тільки ступеневих поліномів. Серед них можна назвати задачу про згин балки-стінки, задачу про дію на пластинку навантажень, розподілених вздовж контуру за будь-яким законом (в тому числі зосередженої сили).

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Розв’язок плоскої задачі теорії пружності в поліномах (цілих функціях).	\|

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.