Розв’язок плоскої задачі в напруженнях. Функція напружень. Бігармонічне рівняння плоскої задачі теорії пружності.

Розв’язок плоскої задачі теорії пружності методом тригонометричних рядів Рибьєра-Фурьє.

Розв’язок плоскої задачі теорії пружності в поліномах.

Тема: Методи розв’язку плоскої задачі теорії пружності.

Розв’язок плоскої задачі в напруженнях зводиться до розрахунку трьох невідомих функцій σ_x(x, y), σ_y(x, y), τ_xy(x, y). Для цього використовують, вже відомі, два диференціальних рівняння рівноваги (4.14),

до яких потрібно додати рівняння неперервності деформацій (4.17),

замінивши в останньому деформації на напруження за допомогою формул закону Гука (4.20) для узагальненого плоского напруженого стану

Після сумісного розгляду рівнянь (4.17) та (4.20), виконавши ряд перетворень отримаємо:

Виключимо з останнього рівняння τ_xy. Для цього перше рівняння рівноваги (4.14) продиференцюємо по х, а друге – по у (вважаємо об’ємні сили – сталою величиною), та складемо їх почленно. Після цього отримаємо:

Підставимо отримане співвідношення в попереднє рівняння:

або в скороченому вигляді

(5.1)

Останнє рівняння носить назву рівняння Леві для узагальненого плоского напруженого стану.

Таким чином, сума нормальних напружень в плоскій задачі є гармонічною функцією.

Отже, розв’язок плоскої задачі теорії пружності за умови сталої величини об’ємних сил зводиться до інтегрування трьох рівнянь: двох рівнянь рівноваги (4.14) та рівняння неперервності деформацій (5.1):

(5.2)

При цьому обов’язково повинні виконуватися умови на поверхні (4.15)

Функція напружень. Бігармонічне рівняння плоскої задачі теорії пружності. Розв’язок плоскої задачі в напруженнях за допомогою рівнянь (5.2) можна істотно спростити, якщо перейти від трьох невідомих функцій σ_x(x, y), σ_y(x, y), τ_xy(x, y) до однієї функції φ = φ(х, у), яка носить назву функції напружень Ері. ЇЇ обирають таким чином, щоб диференціальні рівняння рівноваги (4.14) оберталися в тотожності. Ця умова буде задовольнятися, якщо напруження виразити через функцію Ері за допомогою наступних співвідношень:

(5.3)

Дійсно, якщо підставити ці вирази в рівняння рівноваги (4.14), отримаємо тотожності, тобто прийнята функція напружень φ (х, у) є розв’язком цих рівнянь.

Підставивши напруження з (5.3) в рівняння неперервності деформацій (5.1), отримаємо:

Вираз, який знаходиться в дужках, представляє собою оператор Лапласа над функцією φ (х, у). В зв’язку з цим останнє рівняння може бути представлено за допомогою оператора Лапласа, а саме:

(5.4)

Ліва частина останнього виразу називається подвійним оператором Лапласа над функцією φ.

Записавши рівняння (5.4) в розгорнутому вигляді та виконавши його диференціювання, отримаємо:

(5.5)

Як рівняння (5.4), так і рівняння (5.5) носить назву – бігармонічне рівня плоскої задачі. Воно представляє собою умову сумісності деформацій, виражену через функцію напружень φ.

Виразимо умови на поверхні для плоскої задачі (4.15) через функцію напружень за допомогою рівнянь (5.3):

(5.6)

Отже, плоска задача теорії пружності зведена до визначення однієї бігармонічної функції φ (х, у), що задовольняє заданим умовам на контурі.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Теорема	\|

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.003 сек.