Питання для узагальнення

Питання для узагальнення

– Які існують теореми подільності?

– Сформулюйте теорему подільності суми на число (різниці на число, добутку на число).

5. Ознаки подільності на 2 і 5, 4 і 25, 3 і 9 в десятковій системі числення

Ознака подільності на 2

Для того щоб число х ділилося на 2, необхідно і достатньо, щоб його десятковий запис закінчувався однією з цифр 0, 2, 4, 6, 8.

Ознака подільності на 5

Для того щоб число х ділилося на 5, необхідно і достатньо, щоб його десятковий запис закінчувався однією з цифр 0 або 5.

Доведення: Запишемо число а = а_na_n_-1…a₀ у вигляді суми розрядних одиниць, яку розіб’ємо на два доданки: а = (а_n10ⁿ + … + a₁10) + a₀_.Як бачимо, перший доданок ділиться і на 2, і на 5. Отже, щоб сума ділилась на 2 або на 5, необхідно і достатньо, щоб і другий доданок а₀ ділився відповідно на 2 або на 5. Теорему доведено.

Ознака подільності на 4 (25)

Для того щоб число х ділилося на 4, необхідно і достатньо, щоб на 4 ділилося двохзначне число, утворене двома останніми числами десяткового запису числа х.

Доведення: Число а = а_na_n_-1…a₀ запишемо у вигляді суми двох доданків: а = (a_n10ⁿ + … +a₂10²) + (a₁10 + a₀). Перший доданок ділиться як на 4, так і на 25. Отже, число а як сума двох доданків ділиться на 4 (на 25) тоді і тільки тоді, коли на 4 (на 25) ділиться число а₁а₀ = а₁10 + а₀, утворене двома останніми цифрами числа а. Теорему доведено.

Ознака подільності на 3

Для того щоб число х ділилося на 3, необхідно і достатньо, щоб сума цифр його десяткового запису ділилася на 3.

Ознака подільності на 9

Для того щоб число х ділилося на 9, необхідно і достатньо, щоб сума цифр його десяткового запису ділилася на 9.

Доведення: Запишемо число а у вигляді: а = a_n10ⁿ + … + a₁10 + a₀.

Оскільки 10 = 9 + 1, 10² = 99 + 1, ... , 10ⁿ = +1,

то a_n ( 99..9 + 1) + … +a₁ (9 + 1) + a₀ = (a_n99..9 + … + a₁9) + (a_n + … + a₁ + a₀).

Перші доданки суми діляться як на 3, так і на 9.

Отже, для того щоб число а ділилось на 3 або на 9, необхідно і достатньо, щоб сума одноцифрових чисел, виражених його цифрами (сума цифр) a_n+ … + a₁ + a₀_,ділилась на 3 або на 9. Теорему доведено.

Отже, доведені вище ознаки подільності дають змогу визначити подільність чисел на 2, 3, 4, 5, 9 і 25.

– Яка ознака подільності на 2 (5)?

– Яка ознака подільності на 4 (25)?

– Яка ознака подільності на 3 (9)?

6. Ознаки подільності на складені числа

Доведені вище ознаки подільності дають змогу визначити подільність чисел на 2, 3, 4, 5, 9 і 25. Природно виникає питання, чи існують ознаки подільності на 6, 12, 30 і взагалі на будь-яке складене число

Ознака подільності на 6.

Для того щоб число х ділилося на 6, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 3 або 2.

Доведення: Необхідність. Нехай а 6. Тоді оскільки а 6 і 6 2, то а 2. Через те що а 6 і 6 3, то а 3 (за властивістю транзитивності).

Достатність: Якщо а 2 і а 3, то а – спільне кратне чисел 2 і 3, а будь-яке кратне чисел ділиться на їхнє НСК. Отже, а К (2, 3). Оскільки Д (2, 3) = 1, то К (2, 3) = 2·3 = 6. Таким чином, а 6. Теорему доведено.

Теорема про подільність на складені числа: Для того, щоб натуральне число ділилось на складене число n = bc, де НСД (b,c) = 1, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на b і с.

Доведення цієї теореми аналогічне доведенню ознаки подільності на 6.

Зауважимо, що дану теорему можна застосовувати багаторазово.

Ознака подільності на 12.

Для того щоб число х ділилося на 12, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 3 і 4.

Ознака подільності на 15.

Для того щоб число х ділилося на 15, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 3 і 5.

Ознака подільності на 18.

Для того щоб число х ділилося на 18, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 2 і 9.

Отже, існують ознаки подільності на 6, 12, 18 і взагалі на будь-яке складене число.

ІІІ. Заключна частина

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Питання для узагальнення	\|

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.