Єдиність еффективної оцінки в класі з фіксованим зсувом

Теорема7. Якщо q₁* є Кь і q₂^*є Кь — дві еффективні оцінки в класі Кь, то з вірогідністю 1 вони співпадають: Рд(q₁* = q₂^*)= 1.

Доказ теореми 7. Закиданням спочатку, що Еq (q* - q) ² = Еq (q2* - q)². Дійсно,
оскільки q1* еффективна в класі Кь, то вона не гірше за оцінку q2*, тобто

і навпаки. Тому Еq (q1* - q) ² = Еq (q2* - q) ^2.

Розглянемо оцінку (довести!). Вичислим її средньоквадратичне відхилення.

Помітимо, що

Покладемо а = в* - 9, Ь = 9% - 9. Тоді (а + Ь) /2 = 9* - 9, а - Ь = в* - 9%. Підставимо ці вирази в (4) й візьмемо математичні очікування обох частин:

Але оцінка q* належить Кb, тобто вона не краща, наприклад, еффективної оцінки q*. тому

Порівнюючи цю нерівність з рівністю (5), бачимо, що

Тоді (чому?) Рq (q₁* = q₂^*)= 1, що й було потрібне довести.

Для прикладу розглянемо порівняння двох оцінок. Зрозуміло, порівнюючи оцінки попарно між собою, якнайкращої оцінки в цілому класі не знайти, але вибрати кращу з двох теж корисно. А способами пошуку як найкращої в цілому класі теж скоро займемося.

Приклад 10.Хай ХІ..., Хп — вибірка обєму п з рівномірного розподілу Uо, q, де q > 0.Тоді q = Х(n)= mах{ХІ...,Хп}— оцінка максимальної правдоподібності, а q* = 2Х — оцінка
методу моментів, одержана по першому моменту. Порівняємо їх в середньоквадратичному. Оцінка q* = 2Хнезміщена (див. приклад 4), позтому

Для q = Х(n)= тах{ХІ..., Хп} маємо

Порахуємо перший й другий момент випадкової величини в = Х(п). Знайдемо (корисно пригадати, як це робилося в минулому семестрі!) функцію розподілу й густина q:

тому

При п = І квадратичні відхилення рівної, а при п > І

то є Х(n) краще, ніж 2Х. При цьому Eq(X(n)- q)²® 0 із швидкістю n^-2,тоді як Еq (2Х - q) ®0 із швидкістю n^-1.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Средньоквадратичний підхід. Eфективності оцінок	\|	Вправа.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.