Єдиність еффективної оцінки в класі з фіксованим зсувом
Теорема7. Якщо q1* є Кь і q2*є Кь — дві еффективні оцінки в класі Кь, то з вірогідністю 1 вони співпадають: Рд(q1* = q2*)= 1.
Доказ теореми7. Закиданням спочатку, що Еq (q* - q) 2 = Еq (q2* - q)2. Дійсно, оскільки q1* еффективна в класі Кь, то вона не гірше за оцінку q2*, тобто
і навпаки. Тому Еq (q1* - q) 2 = Еq (q2* - q) 2.
Розглянемо оцінку (довести!). Вичислим її средньоквадратичне відхилення.
Помітимо, що
Покладемо а = в* - 9, Ь = 9% - 9. Тоді (а + Ь) /2 = 9* - 9, а - Ь = в* - 9%. Підставимо ці вирази в (4) й візьмемо математичні очікування обох частин:
Але оцінка q* належить Кb, тобто вона не краща, наприклад, еффективної оцінки q*. тому
Порівнюючи цю нерівність з рівністю (5), бачимо, що
Тоді (чому?) Рq (q1* = q2*)= 1, що й було потрібне довести.
Для прикладу розглянемо порівняння двох оцінок. Зрозуміло, порівнюючи оцінки попарно між собою, якнайкращої оцінки в цілому класі не знайти, але вибрати кращу з двох теж корисно. А способами пошуку як найкращої в цілому класі теж скоро займемося.
Приклад 10.Хай ХІ..., Хп — вибірка обєму п з рівномірного розподілу Uо, q, де q > 0.Тоді q = Х(n)= mах{ХІ...,Хп}— оцінка максимальної правдоподібності, а q* = 2Х — оцінка методу моментів, одержана по першому моменту. Порівняємо їх в середньоквадратичному. Оцінка q* = 2Хнезміщена (див. приклад 4), позтому
Для q = Х(n)= тах{ХІ..., Хп} маємо
Порахуємо перший й другий момент випадкової величини в = Х(п). Знайдемо (корисно пригадати, як це робилося в минулому семестрі!) функцію розподілу й густина q:
тому
При п = І квадратичні відхилення рівної, а при п > І
то є Х(n) краще, ніж 2Х. При цьому Eq(X(n)- q)2 ® 0 із швидкістю n-2, тоді як Еq (2Х - q) ®0 із швидкістю n-1.