• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Методика розв’язання задачі методом потенціалів

Методика розв’язання задачі методом потенціалів складається з перебору опорних планів транспортної задачі, даки не буде знайдений оптимальний план, тобто такий опорний план, при якому значення вартості буде найменшим.

Аналогічно кожному кроку обчислень відповідає своя робоча таблиця задачі, тобто зробити крок – значить побудувати нову робочу таблицю.

Щоб скласти опорний план, скористаймося найпростішим способом «північно-західного кута» (діагональний спосіб). Відповідно до цього способу заповнення таблиці розпочинається з верхньої лівої клітинки (1;1). При цьому порівнюємо кількість продукту (ресурс) , який знаходиться у ПВ з потребою ПП . Меншу з цих величин заносимо в клітину (1;1). В результаті буде виконаний один з балансів (по першому рядку, якщо , або по першому стовпчику, якщо ). Після цього переходимо в наступну клітину рядка або стовпця, де баланс не виконаний. Порівнюємо для цієї клітини невивезену кількість продукту (залишок ресурсу) по рядку з незадовільною потребою по стовпчику і записуємо в дану клітину меншу з порівнюваних величин. Далі зміщуємося в наступну клітину, доки не побудуємо опорний план задачі.

Для кращого уяснення методики розв’язання задачі розглянемо її на чисельному прикладі, початкові дані якого подані у вигляді табл. 2.

Отже, заповнення таблиці, тобто формування попереднього (опорного) плану почнемо з клітини , куди заносимо значення . Оскільки баланс виконаний по стовпчику (потреба повністю задовільне на), то переходимо в наступну клітину по рядку, тобто клітину . Заповнюємо клітину значенням . Баланс по рядку виконано (ресурс використаний повністю), а потреба не задовільне на, тому переходимо до заповнення клітин значенням . Баланс по стовпчику виконаний, тому пересуваємося по рядку до клітинки Заповнюємо її: б отже баланс по стовпчику виконаний. Тому, переходимо до клітинки і визначаємо величину , що відповідає залишку ресурса , тобто баланс по рядку виконано.

Таблиця 2

ПП ПВ					ресурс (наявність)
потреба в

Заповнюємо останню клітинку таблиці : , тобто ресурс по рядку відповідає незадовільне ній потребі стовпчика , що підводить кінцевий баланс – всі потреби задовільне ні, весь ресурс використаний.

Таким чином, побудували допустимий план транспортної задачі. Він також є опорним планом, бо кількість базисних змінних (зайнятих клітинок) дорівнює 6 = m + n–1.

Сумарні витрати на перевезення при такому розподіленні ресурсу по маршрутах складає:

(умовних одиниць.

Для перевірки збудованого плану на оптимальність необхідно по зайнятим клітинам побудувати систему потенціалів, а по вільним клітинам вирахувати систему оцінок.

Кількість потенціалів в задачі дорівнює сумарній кількості ПВ та ПП (m + n = 7), тобто кожному ПВ та ПП відповідає числова величина, яка має назву «потенціал». Позначимо потенціали ПВ через , а потенціали ПП через . Доповнимо табл. 2 ще одним стовпцемі рядком .

Значення потенціалів вираховують за такими правилами (умовами):

1). Потенціал першого рядка завжди повинен дорівнювати нулю - ;

2). Останні потенціали вираховують так: знаходять зайняту клітину , для якої один з потенціалів відомий, а невідомий потенціал визначають з умови:

(7)

Розглянемо хід обчислень системи потенціалів для приведеного приклада, одразу заповнюючи табл.2.

Спочатку будуємо систему потенціалів:

(8)

Розв’яжемо цю систему рівнянь, використовуючи перше правило, що . Тоді

Якщо виконується рівненість:

(9)

то обчислення проведення правильно. У даному разі рівненість (9) виконується (535=-310+845).

Далі перевіряємо побудований план на оптимальність. Для цього по кожній вільній клітині вираховуємо оцінку як різницю між вартістю та сумою її потенціалів, тобто

(10)

Якщо для якоїсь вільної клітини отримана оцінка негативна , то можна включити відповідний цій клітині маршрут в план, чим зменшити загальну вартість перевезень, тобто отримати кращій план. Кожна одиниця ресурса (продукта), яка буде перевезення по маршруту з негативною оцінкою, дасть економію на величину . Таким чином, наявність негативних оцінок показує, що план не є оптимальний, а якщо всі отримані оцінки більше нуля , то це є ознака оптимальності плана.

Перевіримо для даного приклада:

Результат перевірки показав неоптимальність плана, тому його треба поліпшити. Для цього необхідно побудувати цикл перерахунку для клітинки з оцінкою , у нашому випадку – це клітина . Щоб новий план був також допустимий і опорний, цикл перерахунку організують за визначеними правилами:

1). Цикл починається з вільної клітини, в якій ;

2). Зміщуватись по рядкам чи стовпчикам, а повороти робити тільки в зайнятих клітинах під прямим кутом так, щоб повернутися до початкової клітини. В результаті маємо ломану замкнуту лінію з парною кількістю прямих кутів;

3). Вершини циклу (ломаної лінії) позначити знаками «+» і «-», починаючи знаком «+» у вільній клітини з ;

4). Із негативних «-» вершини вибираємо елемент , додаємо його до клітинок позначених «+» і віднімаємо від клітинок позначених «-». При цьому баланси не порушаться, тобто план останеться допустимим, а оскільки загальна кількість зайнятих клітинок не зміниться m+n-1, то план буде опорним. Клітини, які не входять до вершини циклу своїх значень не змінюють.

Економія одиниці ресурса (продукта) дорівнює абсолютному значенню негативної оцінки , відповідно загальна економія буде визначатись: . Сума витрат по новому плану , де - витрати попереднього плана.

У нашому прикладі позначаємо клітину (1,3) знаком «+». Сполучимо клітинкою (2,3) і позначимо її знаком «-». Замкнемо коло, сполучивши клітинки (2,2) і (1,2), і позначимо їх відповідно «+» і «-» (табл.2).

Виберемо мінімальний елемент із негативних вершин (2;3) і (1,2):

Цей елемент додамо і віднімемо у відповідних клітинках. Матимемо новий план розв’язування задачі (табл. 3).

Таблиця 3

ПП ПВ					ресурс (наявність)
потреба в

Сума витрат складає:

Для плану табл. 3 маємо:

Перевіримо правильність обчислень:

Дослідимо цей план на оптимальність:

Результат показує, що план є оптимальний (тобто всі оцінки позитивні).

Необхідно відзначити, якщо є оцінки , то це вказує на те, що можна побудувати інший план розподілу ресурсу, але з однаковою вартістю перевезень, тобто альтернативний план.

Форма комп‘ютерної моделі подана на рис. 1.

Рис. 1

Таким чином, методика розв’язування транспортної задачі методом потенціалів складається з таких етапів:

1. Будуємо опорний план, використовуючи, наприклад, спосіб «північно – західного кута», у вигляді таблиці.

2. Складаємо систему потенціалів, розв’язуємо її за відомими правилами, а результати заносимо до таблиці.

3. За формулою (9) перевіряємо правильність обчислень.

4. Для нашої вільної клітинки () вираховуємо оцінки за формулою (10) і згідно критерію () визначаємо оптимальність плана.

5. Якщо план неоптимальний, то для клітинки з будуємо цикл перерахунку, формуємо нову таблицю (новий план) і починаємо аналіз спочатку.

Читайте також:

1. IV. Перевірка розв’язання і відповідь
2. VII. Нахождение общего решения методом характеристик
3. Алгоритм розв’язання задачі
4. Алгоритм розв’язання розподільної задачі
5. Алгоритм розв’язування задачі
6. Алгоритм розв’язування задачі
7. Алгоритм розв’язування задачі
8. Алгоритм розв’язування задачі
9. Алгоритм розв’язування задачі
10. Алгоритм розв’язування задачі
11. Алгоритм розв’язування задачі оптимізації в Excel
12. Аналіз інформації та постановка задачі дослідження

Переглядів: 694