• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Кінетика процесу фільтрації

Рис. 2.76. Схема руху рідини у осаді.

Виведемо диференційне рівняння руху в'язкої рідини, що нестискується, для випадку одномірного усталеного руху.

Для цього виділимо в потоці рідини, що рухається по каналу, елементарний паралелепіпед dx,dy,dz, рис. 2.77а)

На цей елемент діє сила тяжіння, що може бути записана, як

G =dVr×g= rgdxdydz

Рис. 2.77. До виведення диференційного рівняння руху в'язкої рідини, що
нестискується

Сила тиску. Знайдемо силу тиску, що діє на елемент. Сила тиску – це добуток питомого тиску р на площу dF. Нехай питомий гідростатичний тиск дорівнює тиску стовпа рідини p (тиск на верхній горизонтальній).

Тоді на верхню грань діє сила:

Р_в = pdF = pdydz

Тиск на нижній грані цього елемента дорівнює:

,

і сила тиску на нижній грані дорівнює:

Результуюча цих сил, як проекція на вісь х, буде:

Р = (2.162)

Силу тертя визначимо, виходячи з припущення плоско-паралельного руху потоку. В цьому випадку проекція швидкості w_x залежить тільки від координати Y.

В цьому випадку локальні швидкості руху частинки в потоці W_x,
рис. 2.77 б), змінюються тільки у напрямку Y, а тертя виникає тільки по бокових гранях ab і cd. Біля грані ab швидкість руху рідини менша, ніж швидкість виділеного елементу, тому сила тертя направлена проти руху. Якщо силу тертя, віднесену до одиниці поверхні, позначити як S, то сила тертя, яка діє на грань ab, дорівнює

(2.163)

Біля стінки cd швидкість руху частинок більша, ніж швидкість руху елемента, і сила тертя, напрям дії якої співпадає з напрямом руху елемента, виразимо як:

(2.164)

Результуюча дії сили тертя (сума проекцій на вісь Y) і є сила тертя, що діє на елемент потоку рідини:

Згідно закону Ньютона-Петрова, сила тертя

, (2.165)

З урахуванням (2.165) результуючу силу тертя можна виразити, як:

(2.166)

Згідно другого закону механіки рівнодійну виразимо:

, (2.167)

де dm – маса елементарного об'єму, а – прискорення.

Тоді в загальному виді рівняння сил, що діють на елементарний об'єм, запишемо:

G + P + S = R, (2.168)

або виконавши відповідну підстановку, одержимо:

(2.169)

Диференційне рівняння (2.169) виведено для рівномірного усталеного руху в'язкої рідини, що не стискується.

Для випадку трьохвимірного неусталеного руху в'язкої рідини, що не стискується (r = const), одержимо більш складні рівняння, але структура їх зберігається:

(2.170)

Рівняння (2.170) руху в'язкої рідини, що нестискується, називають рівнянням Нав'є-Стокса.

Похідні в лівій частині рівняння (2.170) являють собою повні (субстанційні) похідні швидкості за часом:

(2.171)

Субстанційна похідна пов'язана з поняттям про матерію, або субстанцію.

Перші члени в правій частині рівняння (2.171) визначають локальні зміни складових швидкостей в часі. Три наступні доданки в правій частині враховують переміщення елемента рідини з однієї точки в просторі до другої. Величини g_x, g_y, g_z – складові прискорення вільного падіння за напрямком осей координат.

В загальному випадку розв’язок цих рівнянь є досить складним. Для інженерних розрахунків розв’язуємо це рівняння методом теорії подібностей. З першого доданка рівняння (2.169) отримаємо критерій Фруда

, (2.172)

з другого доданка отримаємо критерій Ейлера

, (2.173)

з третього доданка отримаємо критерій Рейнольдса:

, тобто

При фільтрації рідини сила тяжіння дуже мала в порівнянні з силою тиску і силою тертя. Тому силою тяжіння можна знехтувати і, відповідно, критерій Фруда не входить до критеріального рівняння, що описує рух потоку рідини. В критеріальне рівняння ввведено додатково безрозмірний комплекс , що характеризує геометричні розміри системи.

Остаточне критериальне рівняння потоку фільтруючої рідини записується у вигляді:

, (2.174)

Рух рідини через пори фільтру є ламінарним (Re 35).

За результатами експериментальних досліджень прийнято С=110, n=1,
m=-1, тоді рівняння (2.174) набуває виду:

, (2.175)

де d_ек – еквівалентний діаметр каналів в шарі зернистого матеріалу.

Еквівалентний діаметр, в загальному випадку розраховується за виразом:

, (2.176)

де f – поперечний змочений переріз каналу, П – повний змочений периметр каналу.

Рівняння (2.176) можна виразити, як:

, (2.177)

де V_п – питомий об’єм порожнеч в шарі зернистого матеріалу [м³/м³];

s – питома поверхня зерен в шарі [м²/м³];

Припустимо, що зерна мають форму кулі. Тоді змочена поверхня зерен в каналі дорівнює:

, (2.178)

де n – число зерен, d_з - діаметр зернистого матеріалу.

Розглянемо шар зернистого матеріалу об'ємом V, що містить n зерен. Об'єм зерен в шарі V₀ дорівнює:

(2.179)

Тоді об'єм порожнеч . Приймаємо об'єм шару V=1 м³, тоді об'єм порожнеч визначиться як:

(2.180)

Поверхню зерен, рівняння (2.178), помножимо і розділимо на величину 6d, тоді:

(2.181)

Після підстановки (2.180) і (2.181) в рівняння (2.177) одержимо:

(2.182)

Введемо поняття пористості шару (ε). Пористість шару – відношення об'єму порожнеч в шарі зернистого матеріалу V_п об'єму всього матеріалу:

(2.183)

При V = 1:

Підставимо замість V₀ його значення з рівняння (2.179)

або (183а)

З урахуванням рівнянь (2.183) та (2.183а) рівняння (2.182) перетворюється на вираз:

, (2.184)

Позначимо 2/3=Ф – фактор форми. Тоді для частинок сферичної форми:

(2.184а)

Запишемо рівняння (2.159) у вигляді:

(2.185)

Підставимо замість d_е його вираз (2.184). Замінимо швидкість руху в каналах на швидкість фільтрації W_f, віднесеної до всієї поверхні фільтра. Між цими швидкостями існує співвідношення:

(2.186)

Після підстановки в рівняння (2.185) виразу (2.186) отримаємо рівняння для визначення W_f:

(2.187)

Із викладеного вище випливає: при рівних умовах швидкість фільтрації прямо пропорційна квадрату діаметра зерен, з яких утворено фільтруючий шар, і обернено пропорційна в'язкості рідини.

З іншої сторони, швидкість фільтрації можна записати у вигляді:

(2.188)

Або виходячи з основного рівняння кінетики технологічних процесів: швидкість процесу прямо пропорційна рушійній силі і обернено пропорційна опору процесу фільтрації.

(2.189)

Загальний опір процесу фільтрації розраховується за виразом:

, (2.190)

де l – висота шару осаду на фільтрі;

питомий опір осаду визначається співвідношенням:

, (2.191)

Тобто питомий опір осаду прямо пропорційний в'язкості рідини та обернено пропорційний квадрату діаметра зерна.

Врахувавши вирази (2.189), (2.190) і (2.191), одержимо:

(2.192)

Читайте також:

1. A) правові і процесуальні основи судово-медичної експертизи
2. H) інноваційний менеджмент – це сукупність організаційно-економічних методів управління всіма стадіями інноваційного процесу.
3. II. Поняття соціального процесу.
4. IV. План навчального процесу.
5. А. Особливості диференціації навчального процесу в школах США
6. Автоматизація процесу призначення IP-адрес
7. Адміністративний примус застосовують на основі адміністративно-процесуальних норм.
8. Активний та пасивний типи адаптаційного процесу.
9. Альтернативні парадигми організаційного процесу
10. Аналіз процесу і продуктів діяльності.
11. Аналіз процесу формування маркетингових комунікацій
12. Аналіз стану та проблем реалізації Болонського процесу в Україні за ключовими напрямками.

Переглядів: 1021