Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Поняття визначника. Визначники другого і третього порядків

 

Розв’язування багатьох економічних задач зводиться до розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. В основі де-яких методів розв’язування таких систем використовуються вирази, які називаються визначниками ( або детермінантами).

 

Розглянемо квадратну таблицю з n2 чисел, розміщених в n - горизонтальних і n -вертикальних рядах. За спеціальними правила-ми знаходиться число, яке називають визначником n -го порядку і позначають буквою " " грецького алфавіту:

  a11 a12 ... a1n  
= a21 a22 ... a2n .
  ..............................  
  an1 an2 ... ann  

 

Числа aij( i = 1,2,...,n, j = 1,2,...,n ) - називають елементами

 

визначника. Перший індекс вказує номер рядка, а другий – номер стовпця, на перетині яких знаходиться елемент. Елементи, в яких обидва індекси однакові (тобто елементи a11,a22,...,ann ) утворюють

головну діагональвизначника.Інша діагональ називаєтьсянеголо-вною(допоміжною).Порядоквизначника визначає кількість йогорядків (або стовпців).

 

При обчисленні визначників n -го порядку одержуємо число, яке дорівнює алгебраїчній сумі всіх можливих добутків його еле-ментів, взятих по одному з кожного з n рядків і кожного із n стов-пців. При цьому половина доданків мають свої знаки, а інша - про-тилежні.

 

Покажемо, як обчислюються визначники другого і третього порядків. Для уточнення поняття “визначник” розглянемо два лінійних рівняння з двома невідомими з буквеними коефіцієнтами:

 

a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 .

 

Для розв’язування цих рівнянь ми повинні помножити їх на


 


відповідні коефіцієнти, при яких виключається одне з невідомих:

a11 x1 + a12 x2 = b1 ,   a22 , a21  
   
a21 x1 + a22 x2 = b2 .   a12 ,a11  

 

В залежності від використаної пари множників ( по вертикалі) виключаємо або x1 або x2 і отримаємо такі рівняння:

( a11a22 a12a21 )x1 = b1a22 b2a12 ,

( a11a22 a12a21 )x2 = b2a11 b1a21 .

 

Звідси

x1 = b1a22 b2a12 , x2 = b2a11 b1a21 .  
     
  a11a22 a12a21   a11a22 a12a21  
Ці вирази мають зміст тільки при умові, якщо знаменник не  
дорівнює нулю.        
Якщо, a11a22a12a21 = 0 , то система рівнянь або немає  
             

розв’язку , або має нескінченну множину розв’язків. Коефіцієнти при невідомих утворюють вирази, які називаються визначниками.

 

Розглядаючи ці коефіцієнти, ми бачимо, що вони однакові при обох невідомих; складаються з двох добутків,кожний з яких вклю-чає два елементи.

Визначники другого порядку символічно позначаються так:

a11 a12 .

a21 a22

 

Визначником другого порядкуназивається число,яке дорів-

нює різниці добутків елементів головної і допоміжної діагоналей,

тобто   a11   a12   = a11a22 a12a21 .          
    a21 a22                        
                         
  Це ілюструється схемою: a11 a12   =   a11 a12   .    
      a21 a22       a22   a21   − 3    
                 
  Приклад 1.Обчислити визначник другого порядку:   .  
                                 

Розв’язування. За попередньою формулою знаходимо:

 

1 3 = 1 6 (3 )7 = 6 + 21 = 27.

76


 

 


Визначником третього порядкуназивається число,яке зна-

 

ходиться за формулою

a11 a12 a13  
a21 a22 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13
a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a23a32a11 .

 

Знаки, які стоять перед кожним із доданків, слід вибирати з такої схеми:

  a11 a12 a13       a11       a12       a13      
                 
  a21 a22 a23   =   a22   +   a23   +   a21    
  a31 a32 a33       a33       a31       a32      
  a13       a12       a11          
                   
a22     a21     a23   .    
  a31           a33       a32        
                                                                                           

Це правило обчислення визначників 3-го порядку називається правилом трикутників.Тут доданки із знаком“+”є добуткамиелементів, які стоять на головній діагоналі визначника a11,a22,a33 і

 

добутки елементів, які стоять у вершинах трикутників з основами паралельними головній діагоналі a12,a23,a31 і a13,a21,a32 . Із знаком

 

“-” беруться доданки, які є добутками елементів неголовної діагона-лі a13,a22,a31 і добутки елементів вершин трикутників із основами,

 

паралельними цій діагоналі визначника: a12,a21,a33 і a11,a23,a32 .

 

Приклад 2.Обчислити визначник=   − 2      
     
  − 3   .  
    − 4      

 

Розв’язування. Користуючись правилом трикутників,

 

    − 2    
     
одержимо   − 3 = 3 4 (4 ) + (2 )(3 ) 5 + 1 2 0 0 4 5  
    − 4    

 

(2 ) 1 (4 ) (3 ) 2 3 =−48 + 30 + 0 0 8 + 18 =−8.

 

Правило трикутників легко запам’ятати, якщо дописати поряд з визначником перший, а потім другий його стовпці. Добутки еле-ментів, які знаходяться на діагоналях, відмічених на схемі суціль-


 


ними лініями, беруться із знаком “+”, a добутки елементів, які зна-ходяться на діагоналях, позначених на схемі пунктиром, із знаком “-”. Алгебраїчна сума цих шести добутків і дає значення визначника

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22 .

a31 a32 a33 a31 a32

Такий спосіб обчислення визначника третього порядку нази-

вається правилом Саррюса.

 

Обчислимо попередній визначник 3-го порядку за правилом Саррюса.

  − 2   − 2 = 3 4 (4 ) + (2 )(3 ) 5 + 0 1 2 0 4 5  
     
  − 3    
  − 4      

3 (3 ) 2 (2 ) 1 (4 ) =−48 + 30 + 0 0 + 18 8 =−8.

 

При обчисленні визначників використовують їх властивості, які розглядаються в наступному параграфі.

 

Зауваження. Визначником першого порядку є число,яке дорі-внює цьому елементу, тобто а11 = а11. Тому не слід плутати позна-чення визначника з модулем самого числа.

 


Читайте також:

  1. II. Поняття соціального процесу.
  2. V. Поняття та ознаки (характеристики) злочинності
  3. А/. Поняття про судовий процес.
  4. Автоматизовані станції управління насосними станціями водопостачання першого, другого і третього підйомів
  5. Адміністративний проступок: поняття, ознаки, види.
  6. Адміністративні правовідносини: поняття, ознаки,
  7. Адміністративні провадження: поняття, класифікація, стадії
  8. Акти застосування юридичних норм: поняття, ознаки, види.
  9. Аналіз ступеня вільності механізму. Наведемо визначення механізму, враховуючи нові поняття.
  10. АРХІВНЕ ОПИСУВАННЯ: ПОНЯТТЯ, ВИДИ, ПРИНЦИПИ І МЕТОДИ
  11. АРХІВНЕ ОПИСУВАННЯ: ПОНЯТТЯ, ВИДИ, ПРИНЦИПИ І МЕТОДИ
  12. Аудиторські докази: поняття та процедури отримання




Переглядів: 1591

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Розділ 1. ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ | Властивості визначників

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.094 сек.