• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Поняття визначника. Визначники другого і третього порядків

Розв’язування багатьох економічних задач зводиться до розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. В основі де-яких методів розв’язування таких систем використовуються вирази, які називаються визначниками ( або детермінантами).

Розглянемо квадратну таблицю з n² чисел, розміщених в n - горизонтальних і n -вертикальних рядах. За спеціальними правила-ми знаходиться число, яке називають визначником n -го порядку і позначають буквою " " грецького алфавіту:

Числа a_ij( i = 1,2,...,n, j = 1,2,...,n ) - називають елементами

визначника. Перший індекс вказує номер рядка, а другий – номер стовпця, на перетині яких знаходиться елемент. Елементи, в яких обидва індекси однакові (тобто елементи a₁₁,a₂₂,...,a_nn ) утворюють

головну діагональвизначника.Інша діагональ називаєтьсянеголо-вною(допоміжною).Порядоквизначника визначає кількість йогорядків (або стовпців).

При обчисленні визначників n -го порядку одержуємо число, яке дорівнює алгебраїчній сумі всіх можливих добутків його еле-ментів, взятих по одному з кожного з n рядків і кожного із n стов-пців. При цьому половина доданків мають свої знаки, а інша - про-тилежні.

Покажемо, як обчислюються визначники другого і третього порядків. Для уточнення поняття “визначник” розглянемо два лінійних рівняння з двома невідомими з буквеними коефіцієнтами:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ = b₁ , a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ = b₂ .

Для розв’язування цих рівнянь ми повинні помножити їх на

відповідні коефіцієнти, при яких виключається одне з невідомих:

В залежності від використаної пари множників ( по вертикалі) виключаємо або x₁ або x₂ і отримаємо такі рівняння:

^{( a}11^a22 ^{− a}12^a21 ^)x1 ^{= b}1^a22 ^{− b}2^a12 ^,

( a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁ )x₂ = b₂a₁₁ − b₁a₂₁ .

Звідси

розв’язку , або має нескінченну множину розв’язків. Коефіцієнти при невідомих утворюють вирази, які називаються визначниками.

Розглядаючи ці коефіцієнти, ми бачимо, що вони однакові при обох невідомих; складаються з двох добутків,кожний з яких вклю-чає два елементи.

Визначники другого порядку символічно позначаються так:

^a11 ^a12 _.

^a21 ^a22

Визначником другого порядкуназивається число,яке дорів-

нює різниці добутків елементів головної і допоміжної діагоналей,

Розв’язування. За попередньою формулою знаходимо:

^{1 − 3} = 1 ⋅ 6 − ( −3 )⋅7 = 6 + 21 = 27.

76

Визначником третього порядкуназивається число,яке зна-

ходиться за формулою

Знаки, які стоять перед кожним із доданків, слід вибирати з такої схеми:

a11

a12

a13

a11 •

•

•

a12 •

•

•

a13

a21

a22

a23

=

•

a22

•

+

•

•

a23

+

a21

•

•

−

a31

a32

a33

•

•

a33

a31

•

•

•

a32

•

•

•

a13

•

a12 •

a11 •

•

−

•

a22

•

−

a21

•

•

−

•

•

a23

.

a31

•

•

•

•

a33

•

a32

•

Це правило обчислення визначників 3-го порядку називається правилом трикутників.Тут доданки із знаком“+”є добуткамиелементів, які стоять на головній діагоналі визначника a₁₁,a₂₂,a₃₃ і

добутки елементів, які стоять у вершинах трикутників з основами паралельними головній діагоналі a₁₂,a₂₃,a₃₁ і a₁₃,a₂₁,a₃₂ . Із знаком

“-” беруться доданки, які є добутками елементів неголовної діагона-лі a₁₃,a₂₂,a₃₁ і добутки елементів вершин трикутників із основами,

паралельними цій діагоналі визначника: a₁₂,a₂₁,a₃₃ і a₁₁,a₂₃,a₃₂ .

Розв’язування. Користуючись правилом трикутників,

− ( −2 )⋅ 1 ⋅ ( −4 ) − ( −3 )⋅ 2 ⋅ 3 =−48 + 30 + 0 − 0 − 8 + 18 =−8.

Правило трикутників легко запам’ятати, якщо дописати поряд з визначником перший, а потім другий його стовпці. Добутки еле-ментів, які знаходяться на діагоналях, відмічених на схемі суціль-

ними лініями, беруться із знаком “+”, a добутки елементів, які зна-ходяться на діагоналях, позначених на схемі пунктиром, із знаком “-”. Алгебраїчна сума цих шести добутків і дає значення визначника

^a11 ^a12 ^a13 ^a11 ^a12

^a21 ^a22 ^a23 ^a21 ^a22 ^.

^a31 ^a32 ^a33 ^a31 ^a32

Такий спосіб обчислення визначника третього порядку нази-

вається правилом Саррюса.

Обчислимо попередній визначник 3-го порядку за правилом Саррюса.

− 3 ⋅ ( −3 )⋅ 2 − ( −2 )⋅ 1 ⋅ ( −4 ) =−48 + 30 + 0 − 0 + 18 − 8 =−8.

При обчисленні визначників використовують їх властивості, які розглядаються в наступному параграфі.

Зауваження. Визначником першого порядку є число,яке дорі-внює цьому елементу, тобто а₁₁ = а₁₁. Тому не слід плутати позна-чення визначника з модулем самого числа.

Читайте також:

1. II. Поняття соціального процесу.
2. V. Поняття та ознаки (характеристики) злочинності
3. А/. Поняття про судовий процес.
4. Автоматизовані станції управління насосними станціями водопостачання першого, другого і третього підйомів
5. Адміністративний проступок: поняття, ознаки, види.
6. Адміністративні правовідносини: поняття, ознаки,
7. Адміністративні провадження: поняття, класифікація, стадії
8. Акти застосування юридичних норм: поняття, ознаки, види.
9. Аналіз ступеня вільності механізму. Наведемо визначення механізму, враховуючи нові поняття.
10. АРХІВНЕ ОПИСУВАННЯ: ПОНЯТТЯ, ВИДИ, ПРИНЦИПИ І МЕТОДИ
11. АРХІВНЕ ОПИСУВАННЯ: ПОНЯТТЯ, ВИДИ, ПРИНЦИПИ І МЕТОДИ
12. Аудиторські докази: поняття та процедури отримання

Переглядів: 1605