Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Властивості визначників

 

Визначники довільного порядку мають ряд властивостей. Властивість 1. Якщо у визначнику поміняти місцями рядки

 

на стовпці, то величина визначника не зміниться:

a11 a12 ... a1n   a11 a21 ... an1  
a 21 a22 ... a2n = a 12 a22 ... an2 .
.......... .......... ..........     ..............................  
an1 an2 ... ann   a1n a2n ... ann  

 

Доведення. Для визначника другого порядку маємо:

  a a   = a11a22 a12a21 , a11 a2 = a11a22 a21a12 .  
     
        a12    
  a21 a22     a22    
                       

 

Заміну у визначнику рядків на відповідні стовпці називають

 

транспонуваннямвизначника.

Приклад 1.Перевіримо справедливість властивості на


 


прикладі визначника третього порядку:

  − 3   =−20 4 + 0 + 6 0 24 =−42.  
     
  − 2    
  − 1      

 

Поміняємо місцями рядки на стовпці:

  − 1   =−20 4 + 0 + 6 0 24 =−42.  
     
  − 2    
  − 3      

 

Отже, величина визначника не змінюється при його транспо-нуванні, тобто його рядки і стовпці рівноправні.

 

Властивість 2. Якщо у визначнику поміняти місцями два ря-дки (або стовпці), то він змінить тільки знак, не змінюючи абсолютної величини.

        a11 a12 ... a1n     a11 a12 ... a1n              
        a 21 a22 ... a2n     a 21 a22 ... a2n              
        ... ... ... ...     ... ... ... ...              
        ai 1 ai 2 ... ain     ak 1 ak 2 ... akn              
        ... ... ... ...   = − ... ... ... ... .        
        ak 1 ak 2 ... akn     ai 1 ai 2 ... ain              
        ... ... ... ...     ... ... ... ...              
        an1 an2 ... ann     an1 an2 ... ann              
                         
Доведення. Поміняємо місцями рядки у визначнику другого  
порядку:   a11 a12   = a11a22 a12a21 =−( a21a12 a22a11 ) =−   a21 a22   .  
         
    a21 a22                           a11 a12      

 

Приклад 2.Поміняємо місцями перший і третій рядки визна-чника третього порядку із прикладу 1.

      − 1   =−6 + 24 + 0 + 20 0 + 4 = 42.  
         
      − 2    
      − 3                
    − 3         − 1    
           
Отже,   − 2 = −   − 2 ,  
    − 1       − 3    

 

тобто має місце властивість 2.


 

 


Властивість 3. Якщо у визначнику всі елементи довільногорядка (або стовпця) дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю:

  a11 a12 ... a1n    
  a21 a22 ... a2n    
і-ий рядок ... ... ... ... = 0 .  
...    
  ... ... ... ...    
  an1 an2 ... ann    

Доведення. Доведення цієї властивості очевидне,оскільки приобчисленні визначника всі доданки містять нульові множники i -го рядка. Тому і сам визначник дорівнює нулю.

 

Властивість 4. Якщо у визначнику є два однакові рядки(абостовпці), то визначник дорівнює нулю.

 

Доведення. Для доведення цієї властивості поміняємо місцямиi -ий і k −ий рядки.З однієї сторони величина визначника незміниться (оскільки однакові рядки) , а з другої – зміниться знак на протилежний (згідно з властивістю 2). Якщо позначити величину

визначника через , то одержимо рівність = − , тобто 2 = 0 , а

 

значить = 0.

 

Приклад 3.Визначник третього порядку дорівнює нулю:

 

23 3

1 1 1 = 10 + 12 15 12 + 15 10 = 0 ,

 

45 5

 

оскільки він має два однакові стовпці.

 

Властивість 5. Якщо всі елементи довільного рядка(або сто-впця) мають спільний множник, то його можна винести за знак ви-значника:

a11 a12 ... a1n   a11 a12 ... a1n  
a21 a22 ... a2n   a21 a22 ... a2n  
... ... ... ... = λ ... ... ... ... .
λai 1 λai 2 ... λain   ai 1 ai 2 ... ain  
... ... ... ...   ... ... ... ...  
an1 an2 ... ann   an1 an2 ... ann  

 

Доведення. Нехай всі елементиi-го рядка визначника маютьспільний множник λ. Оскільки визначник дорівнює сумі добутків


 


елементів, в т.ч. з розглянутого i -го рядка, то λ можна винести з цієї суми за дужки. Якщо записати вираз в дужках у вигляді визнач-ника, то одержимо попередню рівність.

Наслідок. Якщо довільний рядок(або стовпець)визначникапомножити на число λ, то величина визначника зміниться в λ раз.

 

Зокрема, якщо елементи, наприклад, першого рядка визначни-ка другого порядку мають спільний множник “ λ ”, то

  λa11 λa12   =λa11a22 − λa12a21( a11a22 a12a21 ) =λ   a11 a12   .  
         
  a21 a22               a21 a22      
  Приклад 4.У визначнику третього порядку              
      − 6   = 32 + 144 48 + 24 128 72 =−48        
             
      − 12          
    − 3                    
                                 

 

елементи першого і другого рядків мають спільні множники “2” і “4”, тому їх можна винести за знак визначника

  − 6       − 3      
         
  − 12   = 2 4   − 3   = 8( 4 + 18 6 + 3 16 9 ) =−48  
  − 3       − 3      

 

Властивість 6. Якщо у визначнику елементи одного рядка(або стовпця) пропорційні відповідним елементам іншого рядка (або стовпця), то визначник дорівнює нулю:

a11 a12 ... a1n    
a21 a22 ... a2n    
... ... ... ...    
ai 1 ai 2 ... ain = 0.  
... ... ... ...  
   
λai 1 λai 2 ... λain    
... ... ... ...    
an1 an2 ... ann    

 

Доведення. Нехай елементиi-го іk-го рядків пропорційні.Завластивістю 5 постійний множник пропорційності λ можна винести за знак визначника. При цьому одержимо добуток числа λ на ви-значник з двома однаковими рядками, який дорівнює нулю (за властивістю 4).


 


Приклад 5.Визначник третього порядку

 

− 2 3
6 9 =−30 + 36 0 + 0 + 30 36 = 0 ,

04 5

 

тому що перший і другий рядки пропорційні.

 

Властивість 7. Якщо у визначнику всі елементи довільногорядка ( або стовпця) є сумою двох доданків, то визначник можна представити у вигляді суми двох визначників. При цьому елементи розглянутого рядка ( або стовпця ) в першому визначнику є перши-ми доданками, а елементи відповідного рядка ( або стовпця) другого визначника - другими доданками:

a11 a12 ... a1n   a11 a12 ... a1n   a11 a12 ... a1n  
a21 a22 ... a2n   a21 a22 ... a2n   a21 a22 ... a2n  
... ... ... ... = ... ... ... ... + ... ... ... ... .
ai1 + bi1 ai 2 + bi 2 ... ain + bin   ai1 ai 2 ... ain   bi1 bi2 ... bin  
... ... ... ...   ... ... ... ...   ... ... ... ...  
an1 an2 ... ann   an1 an2 ... ann   an1 an2 ... ann  

 

Доведення. Доведемо справедливість цієї властивості наприкладі визначника другого порядку:

    a11 + b11 a12 + b12   = ( a + b )a − ( a + b )a =        
             
    a21       a22                            
                            a11 a12         b11 b12      
                                         
= ( a a a a ) + ( b a b a ) =   +     .  
                a21 a22         a21 a22      
                                                   
                                             
Приклад 6.Обчислити визначник:                          
      − 1                                                    
                                                       
    − 4   =−30 + 4 + 0 + 0 16 9 =−51.                      
      − 2                                                    

 

Елементи, наприклад, другого рядка можна представити у ви-гляді суми двох доданків:

  3 2 − 1       − 1       3 2 − 1       3 2 − 1      
                 
  − 4 5   =   2 2 3 + 2 2 + 1   =   − 2 3   +   − 2 2   =  
  0 1 − 2       − 2       0 1 − 2       0 1 − 2      

 


= (18 + 2 + 0 + 0 8 6 ) + (12 + 2 + 0 + 0 8 3 ) =−30 21 =−51.

 

Властивість 8. Величина визначника не зміниться,якщо доелементів довільного рядка (або стовпця) додати відповідні елемен-ти іншого рядка (або стовпця), помножені на одне і те ж число λ:

a11 a12 ... a1n   a11 a12 ... a1n  
a21 a22 ... a2n   a21 a22 ... a2n  
... ... ... ...   ... ... ... ...  
ai1 ai 2 ... ain = ai 1ak 1 ai 2ak 2 ... ain +λakn .
... ... ... ...   ... ... ... ...  
ak1 ak 2 ... akn   ак1 ак2 ... акn  
... ... ... ...   ... ... ... ...  
an1 an2 ... ann   an1 an2 ... ann  

 

Доведення. Для доведення представимо визначник правої час-тини згідно з властивістю 7 у вигляді суми двох визначників:

  a11   a12 ... a1n   a11 a12 ... a1n    
  a21   a22 ... a2 n   a21 a22 ... a2 n    
...   ... ... ...   ... ... ... ...    
ai 1ak 1 ai 1ak 2 ... ai 1 +λakn = ai 1 ai 2 ... aіn +  
...   ... ... ...   ... ... ... ...    
  ak 1   ak 2 ... akn   ak 1 ak 2 ... akn    
...   ... ... ...   ... ... ... ...    
  an1   an2 ... ann   an1 an2 ... ann    
  a11 a12 ... a1n                    
                   
  a 21 a22 ... a2 n                    
  ... ... ... ...                    
+ λak 1 λak 2 ... λakn   .                
  ... ... ... ...                    
  ak 1 ak 2 ... akn                    
  ... ... ... ...                    
  an1 an2 ... ann                    

 

В другому визначнику правої частини елементи і-го рядка пропор-ційні відповідним елементам k-го рядка, тому за властивістю 6 та-кий визначник дорівнює нулю. Отже, має місце властивість 8.


 


Приклад 7.Обчислити визначник

        − 3   =     − 3   =  
               
              −3 )  
        − 2     + 1 ( −3 ) 2 + (3 )( −3 ) 5 + 2(    
=   − 3     =−11.          
               
               
            − 1              

 

Тут ми до елементів третього рядка додали відповідні елемен-ти першого рядка, помножені на число “-3”.

 

Надалі, властивість 8 використовується для обчислення ви-значників вищих порядків. При цьому в довільному рядку ( або сто-впці) утворюємо всі нулі, крім одного елемента.

Нехай маємо визначник n − го порядку ( n > 3 ) ;

  a11 a12 ... a1 j ... a1n  
  a21 a22 ... a2 j ... a2n  
= ... ... ... ... ... ... .
  ai 1 ai 2 ... aij ... ain  
  ... ... ... ... ... ...  
  an1 an2 ... anj ... ann  
Означення1. Мінором Mij елемента aij визначника n − го

 

порядку називається визначник ( n 1 ) го порядку, одержаний

 

із попереднього після викреслювання i − го рядка і j − го стовпця,
на перетині яких знаходиться даний елемент.  
Означення2. Алгебраїчним доповненням Aij елемента aij

 

визначника n го порядку називається мінор для цього елемента, взятий із знаком “+”, якщо число ( i + j ) - парне та із знаком “-”,

 

якщо воно непарне. Тобто Aij = (1 )i + j Mij .  
Приклад 8.Знайти алгебраїчні доповнення до елементівa13  
та a32 визначника     − 1      
     
      .  
      − 2      

 

Алгебраїчні доповнення A13 і A32 знайдемо за попередньою формулою:

 

A13 = (1 )1+ 3 M13 = М13 ; A32 = (1 )3+ 2 M32 =− M32 .


 


Згідно з означенням 1 маємо:

 

M13 =     − 1   =       = 6 1 0 5 = 6 ,  
             
             
             
      2                      
                                 
M32 =   − 1     =     − 1   = 4 3 (1 ) 6 = 12 + 6 = 18.  
             
             
        − 2                
                                   

Шукані алгебраїчні доповнення будуть A13 = 6 ; A32 = −18.

Властивість 9. (Теорема Лапласа).

 

Визначник дорівнює сумі добутків елементів довільного рядка (або стовпця) на відповідні алгебраїчні доповнення:

 

= ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + ...+ ain Ain =∑n aij Aij ( i = 1,2,...,n );  
j = 1   (1.1)  
= a1 j A1 j + a2 j A2 j + ...+ anj Anj =∑n  
aij Aij ( j = 1,2,...,n ).  
i = 1    
Ця теорема називається ще теоремою розкладу. При цьому  

перша формула є розкладом визначника за елементами його рядка, а друга - розкладом визначника за елементами його стовпця.

 

Доведення. Доведемо цю властивість для визначника третьогопорядку:

= a11 a12 a13 = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 a13a22a31  
a21 a22 a23  
  a31 a32 a33    

a12a21a33 a23a32a11 = a11 ( a22a33 a23a32 ) + a12 ( a23a31 a21a33 ) +

+ a13 ( a21a32 a22a31 ).

Однак,

a a −a   a =   a22   a23   = A ,              
                a32   a33                      
a a −a   a =−( a a a a ) =−   a21 a23   = A ,    
                                                                                           
         
                              a32 a33    
a a − a a =   a21   a22   = A .              
                   
                                                                                                   
                a31   a32                  
                                                     
                                                                                 

 

Таким чином, = a11A11 + a12A12 + a13A13.


 


Це формула розкладу визначника за елементами першого ряд-ка. Аналогічно можна знайти розклад визначника за елементами іншого рядка або довільного стовпця.

 

З допомогою цієї властивості, обчислення визначника n − го порядку зводиться до обчислення визначників ( n1 )- го порядку.

 

Тому при обчисленні таких визначників найкраще вибирати для ро-зкладу рядок або стовпець, в якому є нулі. При цьому будемо обчи-слювати не n визначників ( n1 )- го порядку, а менше.

 

Приклад 9.Обчислити визначник3-го порядку,розклавшийого за елементами першого рядка:

  3   1+1   1 4   1+2     1+3   − 1    
                 
                 
  − 1 4             =  
    = 1 ( −1)     + 2 ( −1)     + (3 ) ( −1)    
                       
                                   

 

1 (1)2 (0 24) + 2 (1)3(0 20) 3 (1)4 ( 18+ 5 ) =−24 + 40 69 =−53.

 

Зауваження. Даний визначник простіше було б обчислювати,розклавши його за елементами третього рядка (або третього сто-впця), оскільки один із доданків не потрібно обчислювати (елемент

a33 = 0 ).

 

  − 3     − 1            
                 
                 
  − 1 4         =−3( 18 + 5 ) − 4( 6 10 ) =  
    =−3 ( −1 )     + 4 ( −1 )    
                     
                             

 

=


Читайте також:

  1. А) Товар і його властивості.
  2. Аеродинамічні властивості колісної машини
  3. Аналізатори людини та їхні властивості.
  4. Аналізатори людини та їхні властивості.
  5. Атрибутивні ознаки і властивості культури
  6. Білки, властивості, роль в життєдіяльності організмів.
  7. Біосфера Землі, її характерні властивості
  8. Будова атомів та хімічний зв’язок між атомами визначають будову сполук, а отже і їх фізичні та хімічні властивості.
  9. Будова і властивості аналізаторів
  10. Будова, склад та фізичні властивості Землі
  11. Векторний добуток і його властивості.
  12. Вибірні властивості коливального контуру




Переглядів: 953

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Поняття визначника. Визначники другого і третього порядків | Сума добутків елементів довільного рядка (або стовпця) на алгебраїчні доповнення паралельного іншого рядка (або сто-впця) дорівнює нулю.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.04 сек.