Властивості визначників

Новини освіти і науки:

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

=−20 − 4 + 0 + 6 − 0 − 24 =−42.

Визначники довільного порядку мають ряд властивостей. Властивість 1. Якщо у визначнику поміняти місцями рядки

на стовпці, то величина визначника не зміниться:

^a11	^a12	...	^a1n		^a11	^a21	...	^an1
^a 21	^a22	...	^a2n	=	^a 12	^a22	...	^an2	.
..........	..........	..........			..............................
^an1	^an2	...	^ann		^a1n	^a2n	...	^ann

Доведення. Для визначника другого порядку маємо:

a		a			⁼ ^a11^a22 ⁻ ^a12^a21 ^,	^a11	a₂	⁼ ^a11^a22 ⁻ ^a21^a12 ^.

			^a12
^a21	^a22			^a22

Заміну у визначнику рядків на відповідні стовпці називають

транспонуваннямвизначника.

Приклад 1.Перевіримо справедливість властивості на

прикладі визначника третього порядку:

Поміняємо місцями рядки на стовпці:

Отже, величина визначника не змінюється при його транспо-нуванні, тобто його рядки і стовпці рівноправні.

Властивість 2. Якщо у визначнику поміняти місцями два ря-дки (або стовпці), то він змінить тільки знак, не змінюючи абсолютної величини.

^a11

^a12

...

^a1n

^a11

^a12

...

^a1n

^a 21

^a22

...

^a2n

^a 21

^a22

...

^a2n

... ... ... ...

^ai 1

a_{i 2} ...

^ain

^ak 1

^ak 2

...

^akn

... ... ... ...

= −

... ... ... ...

^ak 1

a_{k 2} ...

^akn

^ai 1

^ai 2

...

^ain

... ... ... ...

^an1

a_n2 ...

^ann

^an1

^an2

...

^ann

Доведення. Поміняємо місцями рядки у визначнику другого

порядку:

^a11

^a12

⁼ ^a11^a22 ⁻ ^a12^a21

=−( a₂₁a₁₂ − a₂₂a₁₁

) =−

^a21

^a22

^a21

^a22

^a11

^a12

Приклад 2.Поміняємо місцями перший і третій рядки визна-чника третього порядку із прикладу 1.

− 1

=−6

+ 24

+ 0 + 20 − 0 + 4 = 42.

− 2

− 3

− 1

Отже,

− 2

= −

− 2

− 1

− 3

тобто має місце властивість 2.

Властивість 3. Якщо у визначнику всі елементи довільногорядка (або стовпця) дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю:

	^a11	^a12	...	^a1n
	^a21	^a22	...	^a2n
і-ий рядок	...	...	...	...	= 0 .
		...
	...	... ... ...
	^an1	^an2	...	^ann

Доведення. Доведення цієї властивості очевидне,оскільки приобчисленні визначника всі доданки містять нульові множники i -го рядка. Тому і сам визначник дорівнює нулю.

Властивість 4. Якщо у визначнику є два однакові рядки(абостовпці), то визначник дорівнює нулю.

Доведення. Для доведення цієї властивості поміняємо місцямиi -ий і k −ий рядки.З однієї сторони величина визначника незміниться (оскільки однакові рядки) , а з другої – зміниться знак на протилежний (згідно з властивістю 2). Якщо позначити величину

визначника через , то одержимо рівність = − , тобто 2 = 0 , а

значить = 0.

Приклад 3.Визначник третього порядку дорівнює нулю:

23 3

− 1 1 1 = 10 + 12 − 15 − 12 + 15 − 10 = 0 ,

45 5

оскільки він має два однакові стовпці.

Властивість 5. Якщо всі елементи довільного рядка(або сто-впця) мають спільний множник, то його можна винести за знак ви-значника:

^a11	^a12	...	^a1n		^a11	^a12	...	^a1n
^a21	^a22	...	^a2n		^a21	^a22	...	^a2n
...	... ... ...	= λ	... ... ... ...	.
λa_{i 1}	λa_{i 2} ...	λa_in		^ai 1	^ai 2	...	^ain
...	... ... ...		... ... ... ...
^an1	^an2	...	^ann		^an1	^an2	...	^ann

Доведення. Нехай всі елементиi-го рядка визначника маютьспільний множник λ. Оскільки визначник дорівнює сумі добутків

елементів, в т.ч. з розглянутого i -го рядка, то λ можна винести з цієї суми за дужки. Якщо записати вираз в дужках у вигляді визнач-ника, то одержимо попередню рівність.

Наслідок. Якщо довільний рядок(або стовпець)визначникапомножити на число λ, то величина визначника зміниться в λ раз.

Зокрема, якщо елементи, наприклад, першого рядка визначни-ка другого порядку мають спільний множник “ λ ”, то

λa₁₁

λa₁₂

=λa₁₁a₂₂

− λa₁₂a₂₁ =λ( a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁

) =λ

^a11

^a12

^a21

^a22

^a21

^a22

Приклад 4.У визначнику третього порядку

− 6

= 32

+ 144 − 48 + 24 − 128 − 72 =−48

− 12

− 3

елементи першого і другого рядків мають спільні множники “2” і “4”, тому їх можна винести за знак визначника

− 6

− 3

− 12

= 2 ⋅ 4 ⋅

− 3

= 8( 4 + 18 − 6 + 3 − 16 − 9 ) =−48

− 3

Властивість 6. Якщо у визначнику елементи одного рядка(або стовпця) пропорційні відповідним елементам іншого рядка (або стовпця), то визначник дорівнює нулю:

^a11	^a12	...	^a1n
^a21	^a22	...	^a2n
... ... ... ...
^ai 1	^ai 2	...	^ain	= 0.
... ... ... ...

λa_{i 1}	λa_{i 2}	...	λa_in
... ...	... ...
^an1	^an2	...	^ann

Доведення. Нехай елементиi-го іk-го рядків пропорційні.Завластивістю 5 постійний множник пропорційності λ можна винести за знак визначника. При цьому одержимо добуток числа λ на ви-значник з двома однаковими рядками, який дорівнює нулю (за властивістю 4).

Приклад 5.Визначник третього порядку

	− 2 3
	− 6 9 =−30 + 36 − 0 + 0 + 30 − 36 = 0 ,

04 5

тому що перший і другий рядки пропорційні.

Властивість 7. Якщо у визначнику всі елементи довільногорядка ( або стовпця) є сумою двох доданків, то визначник можна представити у вигляді суми двох визначників. При цьому елементи розглянутого рядка ( або стовпця ) в першому визначнику є перши-ми доданками, а елементи відповідного рядка ( або стовпця) другого визначника - другими доданками:

^a11

^a12

...

^a1n

^a11

^a12

...

^a1n

^a11

^a12

...

^a1n

^a21

^a22

...

^a2n

^a21

^a22

...

^a2n

^a21

^a22

...

^a2n

...

... ...

... ... ... ...

^ai1 ⁺ ^bi1

^ai 2 ⁺ ^bi 2

... a_in + b_in

^ai1 ^ai 2

...

^ain

^bi1 ^bi2

...

^bin

...

... ...

... ... ... ...

^an1

^an2

...

^ann

^an1

^an2

...

^ann

^an1

^an2

...

^ann

Доведення. Доведемо справедливість цієї властивості наприкладі визначника другого порядку:

^a11 ⁺ ^b11

^a12 ⁺ ^b12

= ( a

+ b )a

− ( a

+ b )a

^a21

^a22

^a11

^a12

^b11

^b12

= ( a

− a

) + ( b a

− b a

) =

^a21

^a22

^a21

^a22

Приклад 6.Обчислити визначник:

− 1

− 4

=−30 + 4 + 0 + 0 − 16 − 9 =−51.

− 2

Елементи, наприклад, другого рядка можна представити у ви-гляді суми двох доданків:

3 2

− 1

3 2

− 1

3 2

− 1

− 4 5

− 2 − 2 3 + 2 2 + 1

− 2 3

− 2 2

0 1

− 2

0 1

− 2

0 1

− 2

= ( −18 + 2 + 0 + 0 − 8 − 6 ) + ( −12 + 2 + 0 + 0 − 8 − 3 ) =−30 − 21 =−51.

Властивість 8. Величина визначника не зміниться,якщо доелементів довільного рядка (або стовпця) додати відповідні елемен-ти іншого рядка (або стовпця), помножені на одне і те ж число λ:

^a11	^a12	...	^a1n		^a11	^a12	...	^a1n
^a21	^a22	...	^a2n		^a21	^a22	...	^a2n
... ... ... ...		...	...	...	...
^ai1 ^ai 2	...	^ain	=	a_{i 1} +λa_{k 1}	a_{i 2} +λa_{k 2}	...	a_in +λa_kn	.
... ... ... ...		...	...	...	...
^ak1	^ak 2	...	^akn		^ак1	^ак2	...	^акn
... ... ... ...		...	...	...	...
^an1	^an2	...	^ann		^an1	^an2	...	^ann

Доведення. Для доведення представимо визначник правої час-тини згідно з властивістю 7 у вигляді суми двох визначників:

^a11

^a12

...

^a1n

^a11

^a12

...

^a1n

^a21

^a22

...

^a2 n

^a21

^a22

...

^a2 n

...

... ... ... ...

a_{i 1} +λa_{k 1} a_{i 1} +λa_{k 2} ...

a_{i 1} +λa_kn

^ai 1

^ai 2

...

^aіn

...

... ... ... ...

^ak 1

^ak 2

...

^akn

^ak 1

^ak 2

...

^akn

...

... ... ... ...

^an1

^an2

...

^ann

^an1

^an2

...

^ann

^a11

^a12

...

^a1n

^a 21

^a22

...

^a2 n

...

... ... ...

λa_{k 1}

λa_{k 2} ...

λa_kn

... ... ... ...

^ak 1

a_{k 2} ...

^akn

... ... ... ...

^an1

^an2

...

^ann

В другому визначнику правої частини елементи і-го рядка пропор-ційні відповідним елементам k-го рядка, тому за властивістю 6 та-кий визначник дорівнює нулю. Отже, має місце властивість 8.

Приклад 7.Обчислити визначник

− 3

−3 )

− 2

+ 1 ⋅ ( −3 )

− 2 + ( −3 )( −3 ) 5

+ 2(

− 3

=−11.

− 1

Тут ми до елементів третього рядка додали відповідні елемен-ти першого рядка, помножені на число “-3”.

Надалі, властивість 8 використовується для обчислення ви-значників вищих порядків. При цьому в довільному рядку ( або сто-впці) утворюємо всі нулі, крім одного елемента.

Нехай маємо визначник n − го порядку ( n > 3 ) ;

	^a11	^a12	...	^a1 j	...	^a1n
	^a21	^a22	...	^a2 j	...	^a2n
=	... ... ... ... ... ...	.
	^ai 1	^ai 2	...	^aij	...	^ain
	... ... ... ... ... ...
	^an1	^an2	...	^anj	...	^ann
Означення1. Мінором M_ij	елемента a_ij	визначника n − го

порядку називається визначник ( n − 1 ) − го порядку, одержаний

із попереднього після викреслювання i − го рядка і	j − го стовпця,
на перетині яких знаходиться даний елемент.
Означення2. Алгебраїчним доповненням A_ij	елемента a_ij

визначника n − го порядку називається мінор для цього елемента, взятий із знаком “+”, якщо число ( i + j ) - парне та із знаком “-”,

якщо воно непарне. Тобто A_ij	= ( −1 )ⁱ ⁺ ^j M_ij .
Приклад 8.Знайти алгебраїчні доповнення до елементівa₁₃
та a₃₂ визначника		− 1

			.
		− 2

Алгебраїчні доповнення A₁₃ і A₃₂ знайдемо за попередньою формулою:

A₁₃ = ( −1 )¹⁺ ³ M₁₃ = М₁₃ ; A₃₂ = ( −1 )³⁺ ² M₃₂ =− M₃₂ .

Згідно з означенням 1 маємо:

M₁₃ =

− 1

= 6 ⋅ 1 − 0 ⋅ 5 = 6 ,

− 2

M₃₂ =

− 1

= 4 ⋅ 3 − ( −1 )⋅ 6 = 12 + 6 = 18.

− 2

Шукані алгебраїчні доповнення будуть A₁₃ = 6 ; A₃₂ = −18.

Властивість 9. (Теорема Лапласа).

Визначник дорівнює сумі добутків елементів довільного рядка (або стовпця) на відповідні алгебраїчні доповнення:

= a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} + ...+ a_in A_in =∑ⁿ	a_ij A_ij ( i = 1,2,...,n );
j = 1		(1.1)
= a_{1 j} A_{1 j} + a_{2 j} A_{2 j} + ...+ a_nj A_nj =∑ⁿ
a_ij A_ij ( j = 1,2,...,n ).
i = 1
Ця теорема називається ще теоремою розкладу. При цьому

перша формула є розкладом визначника за елементами його рядка, а друга - розкладом визначника за елементами його стовпця.

Доведення. Доведемо цю властивість для визначника третьогопорядку:

=	^a11	^a12	^a13	⁼ ^a11^a22^a33 ⁺ ^a12^a23^a31 ⁺ ^a21^a32^a13 ⁻ ^a13^a22^a31 ⁻
^a21	^a22	^a23
	^a31	^a32	^a33

⁻ ^a12^a21^a33 ⁻ ^a23^a32^a11 ⁼ ^a11 ^{( a}22^a33 ⁻ ^a23^a32 ⁾ ⁺ ^a12 ^{( a}23^a31 ⁻ ^a21^a33 ⁾ ⁺

⁺ ^a13 ^{( a}21^a32 ⁻ ^a22^a31 ^).

Однак,

−a

^a22

^a23

= A ,

^a32

^a33

−a

=−( a

− a

) =−

^a21

^a23

= A ,

^a32

^a33

− a

^a21

^a22

= A .

^a31

^a32

Таким чином, = a₁₁A₁₁ + a₁₂A₁₂ + a₁₃A₁₃.

Це формула розкладу визначника за елементами першого ряд-ка. Аналогічно можна знайти розклад визначника за елементами іншого рядка або довільного стовпця.

З допомогою цієї властивості, обчислення визначника n − го порядку зводиться до обчислення визначників ( n − 1 )- го порядку.

Тому при обчисленні таких визначників найкраще вибирати для ро-зкладу рядок або стовпець, в якому є нулі. При цьому будемо обчи-слювати не n визначників ( n − 1 )- го порядку, а менше.

Приклад 9.Обчислити визначник3-го порядку,розклавшийого за елементами першого рядка:

− 3

1+1

− 1 4

1+2

1+3

− 1

− 1 4

= 1⋅ ( −1)

+ 2 ⋅ ( −1)

+ ( −3 )⋅ ( −1)

1⋅ ( −1)² (0 − 24) + 2 ⋅ ( −1)³(0 − 20) − 3⋅ ( −1)⁴ ( 18+ 5 ) =−24 + 40 − 69 =−53.

Зауваження. Даний визначник простіше було б обчислювати,розклавши його за елементами третього рядка (або третього сто-впця), оскільки один із доданків не потрібно обчислювати (елемент

a₃₃ = 0 ).

− 3

− 1

− 1 4

=−3( 18

+ 5 ) − 4( 6

− 10 ) =

=−3 ⋅ ( −1 )

+ 4 ⋅ ( −1 )

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Поняття визначника. Визначники другого і третього порядків	\|	Сума добутків елементів довільного рядка (або стовпця) на алгебраїчні доповнення паралельного іншого рядка (або сто-впця) дорівнює нулю.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.046 сек.