Сума добутків елементів довільного рядка (або стовпця) на алгебраїчні доповнення паралельного іншого рядка (або сто-впця) дорівнює нулю.

Доведення.	У	визначнику			^a11	^a12	...	^a1n
виділимо два рядки i -ий іk -ий.			^a21	^a22	...	^a2n
Знайдемо суму добутків елементів		... ... ... ...
i -го рядка на алгебраїчні доповнення	=	^ai 1	^ai 2	...	^ain
... ... ... ...
елементів k -го рядка:
				^ak 1	^ak 2	...	^akn
a_{i 1} A_{k 1} + a_{i 2} A_{k 2} + ... + a_in A_kn .
		... ... ... ...
За теоремою заміщення цю суму мо-		^an1	^an2	...	^ann
жна замінити визначником з двома однако-
вими рядками
			^a11	a₁₂ ...	^a1n

			^a21	a₂₂ ...	^a2 n
a_{i 1} A_{k 1} + a_{i 2} A_{k 2} + ...+ a_in A_kn =	...	... ... ...
^ai 1	a_{i 2} ...	^ain	.
			...	... ... ...
			^ai 1	a_{i 2} ...	^ain
			...	... ... ...
			^an1	a_{n 2} ...	^ann

Одержаний визначник має два однакові рядки, а тому дорівнює нулю.

Приклад 10.Користуючись властивостями визначників,об-

числити	=	− 1

			.
		− 3	− 2

Розв’язування. Додамо елементи першого і другого стовпців,авід елементів третього стовпця віднімемо подвоєні елементи першо-го. Одержимо:

= 1 ⋅ ( −1 )²

− 5

= 1 ⋅ 5

⋅ 2

− 1

= 10( −6 + 1 ) =−50.

− 5

− 12

− 6

Приклад 11.Обчислити визначник,використавши його вла-

стивості:

− 28

Розв’язування. Винесемо за знак визначника спільний множ-ник “8” першого стовпця і спільний множник “7” другого рядка

= 8 ⋅7 ⋅
	− 4	.

Віднімемо від елементів першого рядка подвоєні відповідні елементи другого рядка. До елементів третього рядка додамо відпо-відні елементи другого рядка, помножені на число “-5”

= 8 ⋅7 ⋅	− 2

	− 4	.
	− 4

Такий визначник легко обчислити, розклавши його за елемен-тами першого стовпця:

= 8 ⋅7 ⋅ 1⋅ ( −1 )³	− 2	=−56( −54 + 52 ) = 112.

	− 4

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Властивості визначників	\|	Обчислення визначників довільного порядку

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.