Сума добутків елементів довільного рядка (або стовпця) на алгебраїчні доповнення паралельного іншого рядка (або сто-впця) дорівнює нулю.
Доведення.
У
визначнику
a11
a12
...
a1n
виділимо два рядки i -ий іk -ий.
a21
a22
...
a2n
Знайдемо суму добутків елементів
... ... ... ...
i -го рядка на алгебраїчні доповнення
=
ai 1
ai 2
...
ain
... ... ... ...
елементів k -го рядка:
ak 1
ak 2
...
akn
ai 1 Ak 1 + ai 2 Ak 2 + ... + ain Akn .
... ... ... ...
За теоремою заміщення цю суму мо-
an1
an2
...
ann
жна замінити визначником з двома однако-
вими рядками
a11
a12 ...
a1n
a21
a22 ...
a2 n
ai 1 Ak 1 + ai 2 Ak 2 + ...+ ain Akn =
...
... ... ...
ai 1
ai 2 ...
ain
.
...
... ... ...
ai 1
ai 2 ...
ain
...
... ... ...
an1
an 2 ...
ann
Одержаний визначник має два однакові рядки, а тому дорівнює нулю.
Приклад 10.Користуючись властивостями визначників,об-
числити
=
− 1
.
− 3
− 2
Розв’язування. Додамо елементи першого і другого стовпців,авід елементів третього стовпця віднімемо подвоєні елементи першо-го. Одержимо:
=
= 1 ⋅ ( −1 )2
− 5
= 1 ⋅ 5
⋅ 2
− 1
= 10( −6 + 1 ) =−50.
− 5
− 12
− 12
− 6
Приклад 11.Обчислити визначник,використавши його вла-
стивості:
=
− 28
.
Розв’язування. Винесемо за знак визначника спільний множ-ник “8” першого стовпця і спільний множник “7” другого рядка
= 8 ⋅7 ⋅
− 4
.
Віднімемо від елементів першого рядка подвоєні відповідні елементи другого рядка. До елементів третього рядка додамо відпо-відні елементи другого рядка, помножені на число “-5”
= 8 ⋅7 ⋅
− 2
− 4
.
− 4
Такий визначник легко обчислити, розклавши його за елемен-тами першого стовпця: