Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Обчислення визначників довільного порядку

 

Визначником n -го порядкуназивається число,яке дорівнюєсумі добутків елементів довільного рядка або стовпця, на відповідні алгебраїчні доповнення.


 


При цьому мають місце формули розкладу визначника за еле-ментами його довільного рядка (або стовпця) (1.1).

 

Означення визначника n -го порядку взято за метод його об-числення.

 

Приклад 1.Обчислити визначник4-го порядку:

   
.  
− 1 − 1  
− 5    

 

Розв’язування.Розкладемо визначник за елементами другогорядка:

= 1 (1 )2 + 1   + 0 (1 )2 + 2   +  
− 1   − 1 0   − 1 0  
          − 5             − 5    
+ 1 (1 )2 + 3     + 2            
           
  1 0   (1 )2 + 4     .    
    − 5                

 

Кожен із цих визначників обчислимо, ще раз використавши формулу Лапласа. Перший та третій визначники розкладемо за еле-ментами другого рядка:

= ( 1 ) ( 1 )2 + 1     + ( 1 )( 1 )2 + 2      
         
1 − 1       +  
− 5     − 5       − 5    
                     

+ 0 (1 )2 + 3 2 3 = (1 ) (1 )3 (15 0 ) 1 (1 )4 (10 8 ) +

2 0

+ 0 =−15 + 18 = 3;

          2 + 1     2 + 2      
                   
− 1   = 3 ( −1 )   + (1 )( −1 )   +  
      − 5     − 5  
− 5                            
                           
+ 0 (1 )2 + 3     = 3 ( −1 )3 (10 8 ) 1 ( −1 )4 (5 4 ) +  
     
                                 

 

+ 0 =−3(18 ) 1(9 ) = 63.

 

Четвертий визначник розкладемо за елементами третього рядка:

       
− 1 − 1 = 1 (1 )3 + 1 + 2(1 )3 + 2 +  
  − 1 − 1   − 1    
               

 


+ 0 (1 ) 3+ 3 = 1 (1 9 ) +  
  − 1 ( −1 ) (2 + 3 ) + 2( −1 )  
             

 

+ 0 = 1 2 (10 ) = 21.

 

Отже,

 

= 1 (1 )3 3 + 1 (1 )5 63 + 2 (1 )6 21 =−3 63 + 42 =−24.

 

Як бачимо, обчислення визначника 4-го порядку зводиться до обчислення чотирьох визначників 3-го порядку, а обчислення ви-значника 5-го порядку - до обчислення п’яти визначників 4-го по-рядку або двадцяти визначників 3-го порядку. Тому доцільно споча-тку перетворити визначник так, щоб в одному з рядків (або стовп-ців) всі елементи, крім одного, стали нульовими. Цього можна дося-гти, використавши властивості визначників.

 

Таким чином, обчислення визначника n − го порядку зводить-ся до обчислення лише одного визначника ( n1 ) -го порядку.

 

Приклад 2.Обчислити визначник,використавши його влас-

 

       
тивості: = .  
− 1 − 1  
    − 5    

 

Розв’язування.Від елементів третього стовпця віднімемо від-повідні елементи першого стовпця, а до елементів четвертого стовп-ця додамо відповідні елементи першого стовпця, помножені на “-2”.

 

       
       
       
= = 1 ( −1 )3 1 − 4 − 6 .  
  − 1 − 4 − 6   − 1 − 7    
  − 1 − 7      
             

 

Одержаний визначник 3-го порядку можна обчислити, на-приклад, за правилом Саррюса, або звести до визначника 2-го по-рядку, віднявши від елементів другого і третього стовпців відповідні елементи першого стовпця

    − 3 − 5    
= − − 1 − 3 − 5 =−2 ( −1 )2 =−2 ((3 ) (9 )  
  − 3 − 9   − 3 − 9    
           

 

(3 ) (5 )) =−2 12 =−24.

 

Одержали значно легшим шляхом той же результат визначника.


 


Приклад 3.Обчислити визначник5-го порядку

 

     
= − 1    
− 1 .  
     
  − 1    

 

Розв’язування. Додамо до елементів першого стовпця відпові-дні елементи третього стовпця, помножені на “-2”, а від елементів четвертого стовпця віднімемо потроєні елементи третього і від п’ятого – віднімемо елементи третього. В результаті одержимо

    − 5 − 4    
       
  − 5 1 2 4      
= 1+ 3 − 5    
− 1 5 = 1 ( −1 ) − 4 − 8 − 1 .  
  − 4 − 8 − 1      
  − 1 6      
               

 

Додамо до елементів першого стовпця відповідні елементи четвертого стовпця, помножені на “5”, від елементів другого стовп-ця віднімемо відповідні елементи четвертого стовпця, а до елемен-тів третього стовпця додамо відповідні елементи четвертого стовп-ця, помножені на число “4”.

    − 1    
       
= 1 1+ 4    
− 9 2 − 12 − 1 = 1 ( −1 ) − 9 2 − 12 .  
       
             
                     

 

Додамо до елементів другого рядка подвоєні елементи першо-го рядка:

    − 1   =   1   1+ 2     =  
             
               
    − 9 2 − 12       = (1 ) ( −1 )        
                           
                           
= 602 338 = 264.                      
Отже, визначник   =−264.                    
Визначник n −го порядку можна обчислити, звівши його до  

трикутного вигляду.

 

Означення. Визначником трикутного вигляду називається визначник, в якого нижче (або вище) головної діагоналі всі нульові елементи, тобто:

 


  a11 a12 a13 ... a1n     a11 ...    
1 = a22 a23 ... a2n , 2 = a21 a22 ... .  
a33 ... a3n a31 a32 a33 ...  
  ... ... ... ... ...     ... ... ... ... ...    
  ... ann     an1 an2 an3 ... ann    

 


Читайте також:

  1. RLC-фільтр четвертого порядку
  2. Автододавання та автообчислення.
  3. Алг W2 (ОБЧИСЛЕННЯ Y)
  4. Аналітичні показники динаміки та прийоми їх обчислення
  5. Аспекти організаційного порядку
  6. Афінний шифр k-ro порядку.
  7. База оподаткування, ставки податку та порядок обчислення.
  8. Безпосереднє обчислення з використанням формули Ньютона-Лейбніца.
  9. Бінарне відношення порядку.
  10. Вестфальский мир як основа європейського правопорядку 1648-1815 рр.
  11. Види середніх і способи їх обчислення
  12. Визначення порядку черги фаз трифазної системи




Переглядів: 975

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Сума добутків елементів довільного рядка (або стовпця) на алгебраїчні доповнення паралельного іншого рядка (або сто-впця) дорівнює нулю. | ТЕОРЕМА. Визначник трикутного вигляду дорівнює до-бутку діагональних елементів.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.008 сек.