Мої l прямує до нуля при необмеженому віддалені точки M від початку координат вздовж кривої ( k ) в тому чи іншому напрямі
(мал.60).
Покажемо, що пряма Y = bxa
(2.141) є асимптотою гіперболи
(2.135). Для цього розглянемо пряму MN,яка паралельна осі Oy (мал.59).Абсциса точки M і точки N одна і та ж, тобто x, а ордината точки M є y, а точки N∈Y.
Знайдемо різницю між ордина-тами (Y-y) -точок N і M, які мають одну і ту ж абсцису
l
N
M
О х
(k) Мал.60
Y − y =
b
x −
b
x2 − a2 =
b
( x − x2 − a2 ).
a
a
a
Тепер помножимо і розділимо праву частину цієї рівності на
x + x2 + a2 і після спрощень одержимо Y − y =
ab
.
x +
x2 − a2
Звідси видно, що при необмеженому збільшенні абсциси x різниця Y-y необмежено зменшується.Таким чином,точка гіперболи необ-межено віддаляючись по вітці гіперболи, необмежено наближається
до асимптоти Y = bx , але ніколи її не досягає. Значить, гіпербола a
(2.135) має дві асимптоти Y = bx і Y = − bx , які співпадають з діа-a a
гоналями прямокутника і проходять через початок координат.
Приклад 4.Скласти рівняння гіперболи,якщо відомо,що вона
проходить через точку M1(10;5) і має асимптоти
y =
x та
y =−
x .
Розв’язування. З умови задачі одержуємо,що
=
b
та коор-
a
динати
точки
M1
задовольняють рівнянню
гіперболи, тобто
102
−
52
= 1. Таким чином,одержали систему двох рівнянь з двома