Існування найменшого і найбільшого значення

Нехай функція f ( x ) визначена на множині D .

Значення f ( x^∗ ) , x^∗ ∈ D називається найменшим (найбіль-

шим) значенням функції f ( x ) на множині D , якщо для будь-якого x ∈ D правильна нерівність f ( x^∗ ) ≤ f ( x ) ( f ( x^∗ ) ≥ f ( x )). Най-

менше і найбільше значення функції не завжди існують. Однак правильна теорема.

ТЕОРЕМА 2 (Вейєршрасса). Якщо функція f ( x ) непере-рвна на відрізку[a ,b], то серед її значень на цьому відрізку існує

найменше	і	найбільше,	тобто	min f ( x ) = f ( x₁ ) , x₁ ∈[a ,b]	і
f ( x ) ≥ f ( x₁ ) , x ∈[a ,b];		[ a ,b]	x₂ ∈[a ,b]
max f ( x ) = f ( x₂ ) ,	і
f ( x ) ≤ f ( x₂ ) , x ∈[a ,b].	[ a ,b]

Доведення. Оскільки функція	f ( x ) неперервна на відрізку
[a ,b],то	за	теоремою	1 всі	її	значення	обмеженні, тобто

m ≤ f ( x ) ≤ M ,де m і M -сталі величини.Тоді для такої множини{ f ( x )}значень функції існує точна верхня межа.Нехай

μ= sup{ f ( x )}. Припустимо,щоμ≠ f ( x ) ,коли x ∈[a ,b].

Розглянемо нову функцію ^ϕ^{( x )} ⁼ ¹ ^.

μ − f ( x )

Оскільки μ − f ( x ) ≠ 0 , x ∈ [a ,b] , то функція ϕ( x ) неперервна на відрізку [a ,b] , а значить за теоремою 1 вона обмеже-на, тобто існують числа α і β такі, що α ≤ ϕ( x ) ≤ β ( β > 0 ) .

Розглянемо нерівність			≤ β .

μ − f ( x )
Звідси одержуємо, що
μ − f ( x ) ≥		, − f ( x ) ≥ −μ+		, f ( x ) ≤ μ −	.
	β
	β			β
Остання нерівність показує, що число μ не може бути точною

верхньою межею. Отже, наше припущення неправильне. Теорема 2 доведена.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Обмежені функції	\|	Теорема про перетворення функції в нуль

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.025 сек.