Обмежені функції

Функції, неперервні на відрізку, мають ряд властивостей, яких, взагалі кажучи, не мають функції, неперервні, наприклад, в інтервалі. Ці властивості ми й розглянемо далі.

ТЕОРЕМА 1 (Вейєрштрасса). Неперервна функція на від-різку обмежена на цьому відрізку, тобто існують такі два числа m і M ,що m ≤ f ( x ) ≤ M для всіх x ∈[a ,b].

Доведення. Доводячи за допомогою методу міркування від су-противного, припустимо, що функція f ( x ) , неперервна на відрізку

[a ,b],не обмежена на цьому відрізку.Тому для кожного натураль-ного n знайдеться точка x_n ∈ [a ,b] така, що f ( x ) > n,n = 1,2,...

Послідовність ( x_n) обмежена. За відповідною теоремою ма-

тематичного аналізу з цієї послідовності можна виділити збіжну по-слідовність ( x_n_k) , x_n_k → x₀ ( k → ∞ ) і точка x₀ належить

обов’язково відрізку [a ,b], тому в ній функція f ( x ) неперервна, якщо x₀ ∈ ( a ,b) , неперервна справа, якщо x₀ = a і неперервна зліва, якщо x₀ = b. Отже, ми можемо записати такі два твердження:

	^{f ( x}n_k	)		> n_k , k = 1,2,...,	і

	^{f ( x}n_k	) → f ( x₀ ), k → ∞.
Звідси		з першої	нерівності	випливає, що послідовність
( f ( x_n_k )) необмежена,	а з другого твердження випливає, що вона,

будучи збіжною, обмежена. Суперечність, до якої ми дійшли, дово-дить теорему 1.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
	\|	Існування найменшого і найбільшого значення

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.016 сек.