Теорема про перетворення функції в нуль

Для доведення наступної властивості функцій, неперервних на відрізку, потрібна одна локальна властивість неперервної функції.

ДОПОМІЖНА ТЕОРЕМА. Якщо функція

f ( x ) непере-

рвна в точці x₀ справа (зліва) і якщо

f ( x₀ ) ≠ 0 ,

то знайдеться

числоδ>0 таке, що для всіх x∈[x₀ , x₀+δ)( x₀∈(x₀− δ, x₀]) зна-

чення функції f ( x ) за знаком будуть такими, як

f ( x₀ ) .

Доведення. Нехай для означеності f(x₀)>0 і функція

f ( x ) не-

перервна в точці x₀ справа. Тоді для числа ε =

f ( x₀

)

> 0

існує число δ > 0 таке, що для всіх x ∈ [x₀, x₀ + δ) буде правильна

нерівність

f ( x ) − f ( x₀ )

< ε =

f ( x₀ )

Звідси для x ∈ [x₀, x₀ + δ) маємо

f ( x ) > f ( x₀ )

− ε =

f ( x₀

)

> 0.

Теорема доведена для розглядуваного випадку. Інші випадки

доводяться аналогічно.

Наслідок 1. Якщо функція f ( x ) неперервна в точці

x₀

і як-

що f ( x₀) ≠ 0 , то знайдеться окіл ( x₀ − δ , x₀ + δ )

точки

x₀ ,

для

всіх точок x якого значення функції f ( x ) за знаком будуть таки-

ми ж, як f ( x₀) .

ТЕОРЕМА 3 (Больцано-Коші). Якщо функція f ( x ) непере-рвна на відрізку[a ,b]і якщо значення цієї функції на кінцях цьо-

го відрізка протилежні за знаком, то існує принаймні одна точка с∈(а,b), значення функції в якій дорівнює нулю, тобто f ( c )=0.

Доведення. Нехай для означеностіf (а)<0,f ( b )>0.Оскіль-ки функція f ( x ) в точці x = a неперервна справа , а в точці x=b не-

перервна зліва, то за допоміжною теоремою знайдеться число δ > 0
таке, що	f ( x ) < 0 для всіх	x ∈[a ,a +δ)і f ( x ) > 0 для всіх
x∈(b-δ,b).	Позначимо через	D множину всіх точок x [a,b]в яких

f(x)<0.Ця множина непорожня,оскільки[a ,a +δ)⊂ D .Вона обме-

жена зверху числом b − δ . Така множина має точну верхню межу. Позначимо її через с = sup D . Ясно, що a + δ ≤ c ≤ b − δ і, отже,

с∈ ( a ,b ) .Доведемо рівність f ( с ) = 0 .

Припустимо, що f (с) ≠ 0 . Оскільки с∈ ( a ,b ) , то за наслід-ком 1 допоміжної теореми знайдеться окіл (с − δ₁,с + δ₂ ) точки с , в

усіх точках якого значення функції	f ( x ) за знаком будуть такими ж,
як f (с) .
Якщо f (с) < 0 , то	f ( x ) < 0	для всіх x ∈ (с − δ₁,с + δ₂ ), що
суперечить означенню числа с як верхньої грані множини D всіх
тих точок x ∈ [a ,b] , в яких	f ( x ) < 0 .
Якщо f (с) > 0 , тоді	f ( x ) > 0 для всіх x ∈ ( с − δ₁ ,с +δ₂ ),що

знову ж таки суперечить означенню числа с як верхньої грані мно-

жини D ,	бо за властивістю верхньої грані в проміжку (с − δ₁,с)
міститься	проміжна одна	точка x′	з множини D , в якій
f ( x′ ) < 0 .Припущення,що	f ( с ) ≠ 0 ,	привело до суперечності.

Отже, f (с) = 0 і теорему 3 доведено.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Існування найменшого і найбільшого значення	\|	Деякі економічні задачі і їх розв’язування

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.024 сек.