Проміжках, тільки б довжина максимального з них прямувала до

нуля. ( max x_i → 0 ).

Означення4. Число I називається границею інтегральної суми

n

∑ f ( ξ_i ) x_i , якщо для будь-якого довільного ε> 0 знайдеться таке

i = 1 <δ , то виконується

δ> 0 , що як тільки max x_i нерівність

n

∑ f ( ξ_i ) x_i − I <ε ,незалежно від вибору часткових проміжків

i = 1

x₁ , x₂ , x₃ ... x_n і точок ξ_і на цих проміжках.

Означення5. Визначеним інтегралом від функції f(x) на

проміжку [a ,b] називається границя lim n

∑ f ( ξ_i ) x_i .

max ^xi ^→ ⁰ _i ₌ ₁

b n x_i .

Позначається _∫ f ( x )dx = lim ∑ f ( ξ_i )

a max x_i →0 i = 1

Числа a i b називаються, відповідно, нижньою і верхнею межами

інтегрування, а [a ,b] – проміжок інтегрування.

На основі цих означень можна записати, що

b

S =_∫ f ( x )dx -формула для знаходження площі фігури (мал. 2.) і

a

t_l

K =_∫ f ( t )dt -формула для знаходженння об’єму виробництва. (6.2.1)

t_k

Для границь інтегральних сум зберігаються багато властивостей границь послідовностей або функцій. Проте, з означення визначеного інтеграла не випливає, що будь-яка функція є інтегровна на будь-якому інтервалі. Є такі функції для яких не існує визначений інтеграл . Відповідь на питання про існування визначеного інтеграла дає така теорема:

ТЕОРЕМА 9. Якщо функція f(x) неперервна на замкненому проміжку[a ,b], то вона інтегровна на цьому проміжку, тобто для

b

неї існує визначений інтеграл_∫f ( x )dx.

a

Теорема доводиться в ширших курсах вищої математики.

ТЕОРЕМА 10. Якщо, на[a ,b]функція обмежена і має лише скінчене число точок розривів, то вона інтегровна на[a ,b].

Ця теорема дає можливість інтегрувати розривні функції.

b

Інтеграл _∫ f ( x )dx був означений для випадку a < b.

a

ba

Доповнимо означення. Якщо a > b , то _∫ f ( x )dx = −_∫ f ( x )dx (6.28)

a b

a

а якщо a = b, то _∫ f ( x )dx = 0. (6.29)

a

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Визначений інтеграл, як границя інтегральних сум	\|	Основні властивості визначеного інтеграла

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.