Проміжках, тільки б довжина максимального з них прямувала до

нуля. ( max x_i → 0 ).

Означення4. Число I називається границею інтегральної суми

∑ f ( ξ_i ) x_i , якщо для будь-якого довільного ε> 0 знайдеться таке

i = 1				<δ , то виконується
δ> 0 ,	що	як	тільки max x_i	нерівність
n
∑ f (	ξ_i )	x_i − I	<ε ,незалежно	від вибору часткових	проміжків

i = 1

x₁ , x₂ , x₃ ... x_n і точок ξ_і на цих проміжках.

Означення5. Визначеним	інтегралом	від функції f(x) на
проміжку [a ,b] називається границя lim	n
∑ f ( ξ_i ) x_i .
		max	^xi ^→ ⁰ _i ₌ ₁
b		n	x_i .
Позначається _∫ f ( x )dx =	lim	∑ f ( ξ_i )
a	max x_i →0	i = 1
Числа a i b називаються, відповідно, нижньою і верхнею межами
інтегрування, а [a ,b] – проміжок інтегрування.
На основі цих означень можна записати, що
b
S =_∫ f ( x )dx -формула	для знаходження площі фігури (мал. 2.) і

t_l

K =_∫ f ( t )dt -формула для знаходженння об’єму виробництва. (6.2.1)

t_k

Для границь інтегральних сум зберігаються багато властивостей границь послідовностей або функцій. Проте, з означення визначеного інтеграла не випливає, що будь-яка функція є інтегровна на будь-якому інтервалі. Є такі функції для яких не існує визначений інтеграл . Відповідь на питання про існування визначеного інтеграла дає така теорема:

ТЕОРЕМА 9. Якщо функція f(x) неперервна на замкненому проміжку[a ,b], то вона інтегровна на цьому проміжку, тобто для

неї існує визначений інтеграл_∫f ( x )dx.

Теорема доводиться в ширших курсах вищої математики.

ТЕОРЕМА 10. Якщо, на[a ,b]функція обмежена і має лише скінчене число точок розривів, то вона інтегровна на[a ,b].

Ця теорема дає можливість інтегрувати розривні функції.

Інтеграл _∫ f ( x )dx був означений для випадку a < b.

Доповнимо означення. Якщо a > b , то _∫ f ( x )dx = −_∫ f ( x )dx	(6.28)
	a	b
	a
а якщо a = b, то	_∫ f ( x )dx = 0.		(6.29)

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Визначений інтеграл, як границя інтегральних сум	\|	Основні властивості визначеного інтеграла

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.012 сек.