Проміжках, тільки б довжина максимального з них прямувала до
нуля. ( max xi → 0 ).
Означення4. Число I називається границею інтегральної суми
n
∑ f ( ξi ) xi , якщо для будь-якого довільного ε> 0 знайдеться таке
i = 1
<δ , то виконується
δ> 0 ,
що
як
тільки max xi
нерівність
n
∑ f (
ξi )
xi − I
<ε ,незалежно
від вибору часткових
проміжків
i = 1
x1 , x2 , x3 ... xn і точок ξі на цих проміжках.
Означення5. Визначеним
інтегралом
від функції f(x) на
проміжку [a ,b] називається границя lim
n
∑ f ( ξi ) xi .
max
xi →0i=1
b
n
xi .
Позначається ∫f ( x )dx =
lim
∑ f ( ξi )
a
max xi →0
i = 1
Числа a i b називаються, відповідно, нижньою і верхнею межами
інтегрування, а [a ,b] – проміжок інтегрування.
На основі цих означень можна записати, що
b
S =∫ f ( x )dx -формула
для знаходження площі фігури (мал. 2.) і
a
tl
K =∫ f ( t )dt -формула для знаходженння об’єму виробництва. (6.2.1)
tk
Для границь інтегральних сум зберігаються багато властивостей границь послідовностей або функцій. Проте, з означення визначеного інтеграла не випливає, що будь-яка функція є інтегровна на будь-якому інтервалі. Є такі функції для яких не існує визначений інтеграл . Відповідь на питання про існування визначеного інтеграла дає така теорема:
ТЕОРЕМА 9. Якщо функція f(x) неперервна на замкненому проміжку[a ,b], то вона інтегровна на цьому проміжку, тобто для
b
неї існує визначений інтеграл∫f ( x )dx.
a
Теорема доводиться в ширших курсах вищої математики.
ТЕОРЕМА 10. Якщо, на[a ,b]функція обмежена і має лише скінчене число точок розривів, то вона інтегровна на[a ,b].
Ця теорема дає можливість інтегрувати розривні функції.
b
Інтеграл ∫f ( x )dx був означений для випадку a < b.
a
ba
Доповнимо означення. Якщо a > b , то ∫f ( x )dx = −∫ f ( x )dx