Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Основні властивості визначеного інтеграла

b   n      
З означення f ( x )dx = lim f ( ξi ) xi одержуємо:  
a max xi 0 i = 1      
a          
Властивість 1. f ( x )dx = 0.     (6.30)  
a          
b a        
Властивість 2. f ( x )dx =− f ( x )dx. (6.31)  
a b        

Доведемо ще декілька інших властивостей.

 

ТЕОРЕМА 11.(Властивість3)Нехай c – проміжна точка проміжку[a ,b]( a<c<b ) . Тоді виконується рівність

 

bcb

f ( x )dx = f ( x )dx + f ( x )dx , якщо всі три інтеграли

a a c
b с b
f ( x )dx , f ( x )dx іf ( x )dx існують.
a a c

Доведення.За умовоюa<c<bі всі три інтеграли,про якійде мова, існують. Розіб’ємо проміжок[a ,b] на n часткових

проміжків: [a , x1 ], [ x1, x2 ], [ x2, x3 ]...[ xn 1,b] з довжинами, відповідно

 

1 , 2 ,..., n , так щоб точка с була точкою поділу. (Наприклад
xm = c( m < n )). Тоді інтегральна сума ∑( f ( ξ i ) xi ) ,що
відповідає проміжку [a ,b] розіб’ється на два доданки:  
n m n  
f ( ξ i ) xi =∑ f ( ξ i ) xi +∑ f ( ξ i ) xi .  
i = 1 i = 1 i = m  

 


Перейшовши до границі при max xi 0 одержимо  
b c b  
f ( x )dx = f ( x )dx + f ( x )dx. (6.32)
a a c  

 

ТЕОРЕМА 12.(Властивість4)Сталий множник можна

 

Виносити за знак визначеного інтеграла.

  b b  
  kf ( x )dx = k f ( x )dx. (k=const) (6.33)
  a a  
    Доведення.За означеннямb kf ( x )dx =    
      [kf ( α 1 ) a x2 + ... + + kf ( α n ) xi ]=    
= lim x1 + kf ( α 2 )    
  max x i → 0          
= lim n kf ( α i ) xi      
  max x i 0 i = 1          
                       

На основі властивості границь, про те, що константу можна виноси-ти за знак границі та означення інтеграла, одержуємо:

b   n b  
kf ( x )dx = k lim →0 f ( α i ) xi = k f ( x )dx.  
max xi i = 1 a  
a    

ТЕОРЕМА 13.(Властивість5)Визначений інтеграл від

Алгебраїчної суми декількох неперервних функцій дорівнює алгебраїчній сумі визначених інтегралів від цих функцій.

 

Доведення.В загальному випадку все можна звести до

  b  
розгляду такого виразу [ f 1 ( x ) + f2 ( x ) f3 ( x )]dx. (6.34)

a

 

За означенням інтеграла, і врахувавши властивість границь (пункт 3.4.1.), одержуємо

b         n ξ1 ) + f2 ( ξ2 ) f3 ( ξ3 )]    
[ f 1 ( x ) + f2 ( x ) f3 ( x )]dx = lim ∑[ f 1 ( xi =  
a n     max x →0 i=1     n    
      n          
= lim f1 (ξi ) xi + lim f2 ( ξi ) xi lim f3 ( ξi ) xi =  
max xi 0 i=1   maz xi 0 i=1     max x10 i=1    
b b   b              
= f1( x )dx + f2 ( x )dx f3 ( x )dx.            
a a   a              

 

 


Теорема про середнє значення визначеного інтеграла.

ТЕОРЕМА 14.(про середнє значення визначеного інтеграла).

Якщо функція f(x) неперервна на проміжку[a ,b], то

всередині нього знайдеться така точка с, що

  b    
  f ( x )dx = ( b a ) f ( c ) . (6.35)  
  a [a ,b],  
  Доведення.Якщо функція f(x) неперервна на проміжку  
то вона досягає своїх найбільшого і найменшого значення М і m на  
проміжку [a ,b]. (пункт 3.6.2.) Розіб’ємо проміжок [a ,b] на n част-  
кових проміжків довжиною   xi = xi xi 1 ( i = 1,2,3,...,n ).    
Оскільки f ( ξi ) ≥ m для будь-якого ξi з проміжку[ хі 1і ], то  
f ( ξi ) xi m xi .Врахувавши,що    
  n xi = x1 + x2 + ...+ xn = b a.    
  i = 1                  
Одержимо n f ( ξi ) xi m( b a ) (6.36)  
  i = 1                
              n    
Аналогічно, f ( ξi)M , а тому ∑ f ( ξi) xiM ( ba ) (6.37)  
              i = 1    
Об’єднавши ці дві нерівності (6.36) і (6.37), одержимо  
  m( b − a ) ≤∑n f ( ξi ) xi M ( b a ) .    
          i = 1          
              b    
Якщо max xi 0 то m( b a ) f ( x )dx M ( b a ) .    
              a    
        b            
        f ( x )dx    
або   m ≤ a       M . (b>a)    
             
          b − a    
                         

 

Врахуємо теорему про те, що функція f(x), неперервна на проміжку [a ,b] набуває на ньому всі проміжні значення між своїм найбільшим і найменшим значеннями, відповідно M і m . Нехай в точці с : mf ( c )M де сb ) .


 


b

f ( x )dx

b

Тоді a = f ( c ) ,значить f ( x )dx = ( b a ) f ( c ). (6.38)  
b − a  
  a    

 

А це й треба було довести.

 


Читайте також:

  1. II. Основні закономірності ходу і розгалуження судин великого і малого кіл кровообігу
  2. II. Основні засоби
  3. II.3. Основні способи і прийоми досягнення адекватності
  4. А) Товар і його властивості.
  5. Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
  6. Аеродинамічні властивості колісної машини
  7. Амортизація основних засобів, основні методи амортизації
  8. Аналізатори людини та їхні властивості.
  9. Аналізатори людини та їхні властивості.
  10. Артеріальний пульс, основні параметри
  11. Атрибутивні ознаки і властивості культури
  12. Банківська система та її основні функції




Переглядів: 651

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Проміжках, тільки б довжина максимального з них прямувала до | Геометричний зміст визначеного інтеграла.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.004 сек.