Новини освіти і науки:

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Основні властивості визначеного інтеграла

b		∑ⁿ
З означення _∫ f ( x )dx =	lim	f ( ξ_i )	x_i одержуємо:
a	^{max x}i ^→⁰ _i ₌ ₁
a
Властивість 1._∫ f ( x )dx = 0.			(6.30)
a
b	a
^{Властивість} ^2._∫ f ( x )dx =−_∫ f ( x )dx.	(6.31)
a	b

Доведемо ще декілька інших властивостей.

ТЕОРЕМА 11.(Властивість3)Нехай c – проміжна точка проміжку[a ,b]( a<c<b ) . Тоді виконується рівність

bcb

_∫ f ( x )dx =_∫ f ( x )dx +_∫ f ( x )dx , якщо всі три інтеграли

a	a	c
b	с	b
_∫ f ( x )dx , _∫ f ( x )dx	і_∫f ( x )dx існують.
a	a	c

Доведення.За умовоюa<c<bі всі три інтеграли,про якійде мова, існують. Розіб’ємо проміжок[a ,b] на n часткових

проміжків: [a , x₁ ], [ x₁, x₂ ], [ x₂, x₃ ]...[ x_n ₋ ₁,b] з довжинами, відповідно

₁ , ₂ ,..., _n , так щоб точка с була точкою поділу.	(Наприклад
x_m = c( m < n )).	Тоді	інтегральна сума ∑( f ( ξ _i	) x_i ) ,що
відповідає проміжку [a ,b] розіб’ється на два доданки:
n	m	n
∑ f ( ξ _i ) x_i =∑ f ( ξ _i ) x_i +∑ f ( ξ _i ) x_i .
i = 1	i = 1	i = m

Перейшовши до границі при max	x_i → 0 одержимо
b	c	b
_∫ f ( x )dx =_∫ f ( x )dx +_∫ f ( x )dx.	(6.32)
a	a	c

ТЕОРЕМА 12.(Властивість4)Сталий множник можна

Виносити за знак визначеного інтеграла.

	b	b
	_∫kf ( x )dx = k _∫ f ( x )dx. (k=const)	(6.33)
	a	a
		Доведення.За означенням_∫^b	kf ( x )dx =
			[kf ( α ₁ )	a	x₂ + ... + + kf ( α _n ) x_i ]=
=	lim	x₁ + kf ( α ₂ )
	max	^x i	→ 0
=	lim	∑ⁿ	kf ( α _i	) x_i
	max	x _i	^→ ⁰ i = 1

На основі властивості границь, про те, що константу можна виноси-ти за знак границі та означення інтеграла, одержуємо:

b		n	b
_∫kf ( x )dx = k lim	→0	∑ f ( α _i )	x_i = k _∫ f ( x )dx.
max x_i	i = 1	a
a

ТЕОРЕМА 13.(Властивість5)Визначений інтеграл від

Алгебраїчної суми декількох неперервних функцій дорівнює алгебраїчній сумі визначених інтегралів від цих функцій.

Доведення.В загальному випадку все можна звести до

	b
розгляду такого виразу	_∫[ f ₁ ( x ) + f₂ ( x ) − f₃ ( x )]dx.	(6.34)

За означенням інтеграла, і врахувавши властивість границь (пункт 3.4.1.), одержуємо

b					n	ξ₁ ) + f₂ ( ξ₂ ) − f₃ ( ξ₃ )]
_∫[ f ₁ ( x ) + f₂ ( x ) − f₃ ( x )]dx =	lim	∑[ f ₁ (	x_i =
a	n			max x →0 _i₌₁			n
			n
= lim	∑ f₁ (ξ_i ) x_i	+	lim	∑ f₂ ( ξ_i ) x_i	−	lim	∑ f₃ ( ξ_i ) x_i	=
^{max x}i ^→⁰ _i₌₁		^{maz x}i ^→⁰ _i₌₁			^{max x}1^→⁰ _i₌₁
b	b		b
=_∫ f₁( x )dx +_∫ f₂ ( x )dx −_∫ f₃ ( x )dx.
a	a		a

Теорема про середнє значення визначеного інтеграла.

ТЕОРЕМА 14.(про середнє значення визначеного інтеграла).

Якщо функція f(x) неперервна на проміжку[a ,b], то

всередині нього знайдеться така точка с, що

_∫ f ( x )dx = ( b − a ) f ( c ) .

(6.35)

[a ,b],

Доведення.Якщо функція f(x) неперервна на проміжку

то вона досягає своїх найбільшого і найменшого значення М і m на

проміжку [a ,b]. (пункт 3.6.2.) Розіб’ємо проміжок [a ,b]

на n част-

кових проміжків довжиною

x_i

= x_i − x_i ₋ ₁ ( i = 1,2,3,...,n ).

Оскільки f ( ξ_i

) ≥ m

для будь-якого ξ_i з проміжку[ х_і ₋ ₁,х_і ], то

f ( ξ_i ) x_i ≥ m

x_i .Врахувавши,що

∑ⁿ

^xi

= x₁ +

x₂ + ...+ x_n = b − a.

i = 1

Одержимо

_∑n

f ( ξ_i

) x_i

≥ m( b − a )

(6.36)

i = 1

Аналогічно, f ( ξ_i) ≤ M , а тому ∑ f ( ξ_i) x_i ≤ M ( b − a )

(6.37)

i = 1

Об’єднавши ці дві нерівності (6.36) і (6.37), одержимо

m( b − a ) ≤∑ⁿ

f ( ξ_i ) x_i ≤ M ( b − a ) .

i = 1

Якщо max x_i

→ 0 то m( b − a ) ≤_∫ f ( x )dx ≤ M ( b − a ) .

_∫ f ( x )dx

або

m ≤

≤ M . (b>a)

b − a

Врахуємо теорему про те, що функція f(x), неперервна на проміжку [a ,b] набуває на ньому всі проміжні значення між своїм найбільшим і найменшим значеннями, відповідно M і m . Нехай в точці с : m ≤ f ( c ) ≤ M де (а ≤ с ≤ b ) .

∫ f ( x )dx

Тоді	a	= f ( c ) ,значить_∫ f ( x )dx = ( b − a ) f ( c ).	(6.38)
b − a
	a

А це й треба було довести.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Проміжках, тільки б довжина максимального з них прямувала до	\|	Геометричний зміст визначеного інтеграла.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.049 сек.