• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Спектр періодичного сигналу.

Представлення періодичного сигналу сумою гармонійних складових (гармонік), як наголошувалося, здійснюється за допомогою розкладання в ряд Фурье функції (1.46), яка є тимчасовим представленням сигналу. Якщо функція / (t) задана в інтервалі часу і < t < h і повторюється з періодом Т = 2JT/Q) = k—ti, то тригонометрична форма ряду Фурье для неї може бути записана таким чином:

(1.49)

або, що рівносильно

(1.50)

Амплітуди косинусоїдальних і синусоїдальних членів в розкладанні (1.49) визначаються виразами

(1.51)

(1.52)

Доданок

(1.53)

є постійною складовою сигналу, яка, як це витікає з виразу (1.53), рівна середньому значенню функції f(t) за період.

Слід звернути увагу на те, що функція f(t) повинна бути задана на проміжку всього періоду Т. В загальному випадку ця функція може відрізнятися від нуля лише на деякій частині періоду.

Амплітуда Ап і фаза гр„ п-й гармоніки, як це витікає з порівняння виразів (1.49) і (1.50), пов'язані з величинами ап і Ъп співвідношеннями

(1.54)

(1.55)

Вельми зручною є комплексна форма запису ряду Фурье, до якого легко перейти, якщо в розкладанні (1.50) виразити тригонометричні функції через показові, скориставшись відомими формулами

В результаті одержимо

(1.56)

де А„ і А - комплексні амплітуди, пов'язані з ап і Ь„ а співвідношеннями

(1.57)

(1.58)

Таким чином, комплексні амплітуди А„ і А-„ є комплексно-зв'язаними величинами, причому

(1.59)

тобто амплітуда Ап (модуль комплексної амплітуди Ап) — парна функція, а фаза грп — непарна функція номера гармоніки п.

Вираз (1.56) можна переписати у вигляді

(1.60)

де А„ — комплексна амплітуда, визначувана виразом, що одержується із співвідношення (1.57):

(1.61)

У комплексній формі розкладання (1.60) негативним значенням числа п відповідають "негативні" частоти, оскільки завжди Про > 0. Ця обставина є формальним слідством виробленого математичного перетворення. Проте негативні значення кутової частоти nQx = Qn при п < 0 одержують ясне геометричне тлумачення. На векторній діаграмі комплексна величина е^"' представляється у вигляді вектора, модуль якого рівний одиниці (одиничний вектор), що обертається з кутовою швидкістю ?2„ проти годинникової стрілки, якщо Qn > 0, і за годинниковою стрілкою, якщо Qn < 0. Геометрична сума двох одиничних векторів, що обертаються з однаковими кутовими швидкостями в протилежні сторони і в один і той же момент співпадаючих з позитивною речовинною віссю, дає результуючий вектор, напрям якого залишається весь час паралельним речовинній осі, а величина змінюється згідно із законом 2 cosЈ2n;. Цей геометричний результат повністю співпадає з аналітичним: </°" + e''Q" = 2 cosS2n/.

Якщо функція f(t), що описує сигнал, парна, тобто f(-t)=f(t), то відповідний їй ряд Фурье міститиме тільки косинусоїдальних членів { Ьп = 0, Ап = ап, 4>п = 0, л).

Якщо функція f(t) непарна, тобто f(-t)= -f(t), то у ряді Фурье присутні тільки синусоїдальні члени (а„ = 0,А = bnipn = л/2, ж/2 +? л).

Структура спектру періодичного сигналу повністю визначається амплітудами і фазами гармонік, тобто модулем А„ і аргументом t/v комплексної амплітуди Ап. Тому комплексна форма ряду Фурье особливо зручна, тим паче, що показові функції у багатьох відношеннях володіють перевагою перед тригонометричними при виробництві математичних операцій.

На рис. 1.15 приведений спектр амплітуд періодичного сигналу, що складається з рівновіддалених ліній, довжини яких пропорційні амплітудам Ап відповідних гармонік. Аналогічний вигляд має і графік спектру фаз.

Безперервна крива, що сполучає кінці ліній спектру і показана на рис. 1.15 штрихами, носить назву тієї, що огинає спектру амплітуд (фаз).

Розглянемо розподіл потужності в спектрі періодичного сигналу. Припустимо, що струм i(t) протікає по опору R і описується складною періодичною функцією часу з періодом Т.

Оскільки процес періодично повторюється, то енергія, що виділяється в опорі R за період Т, постійна і середня потужність

(1.62)

де

(1.63)

i — середнє значення струму в квадраті, корінь квадратний з якого, тобто струм /, як відомо, називають діючим (ефективним) значенням струму.

Якщо представити струм i(t) поряд Фурье (1.50)

то одержимо

(1.64)

(1.65)

Таким чином, середня потужність складного періодичного сигналу в активному опорі визначається окремими гармоніками струму і його постійної складової.

Відзначимо, що середня потужність не залежить від фаз окремих гармонік. Це означає, що зміна форми сигналу, що виникає при порушенні фазових співвідношень усередині спектру, не пов'язана із зміною середньої потужності сигналу. Звідси також витікає, що для визначення середньої потужності вибір почала відліку при розкладанні в ряд Фурье не грає ролі.

Реальні пристрої систем зв'язку і управління містять в собі (у явному або неявному вигляді) інерційні елементи — індуктивності і місткості, наявність яких обумовлює неможливість передачі коливань скільки завгодно високих частот. Тому при передачі періодичних сигналів через реальні системи зв'язку і управління може бути передано лише певну (кінцеве) кількість гармонійних складових сигналу з нескінченної кількості в загальному випадку членів цих складових. Очевидно, важливо передавати ту частину спектру сигналу, яка містить гармонійні складові з відносно великими амплітудами. У зв'язку з цим вводиться поняття практичної ширини спектру сигналу. Під цим виразом розуміється та область частот, в межах якої лежать гармонійні складові сигналу з амплітудами, що перевищують наперед задану величину.

Оскільки середня потужність сигналу на активному опорі складається з потужностей, що виділяються на цьому опорі гармонійними складовими (1.64), практична ширина спектру з енергетичної точки зору може бути визначена як область частот, в межах якої зосереджена переважна частина потужності сигналу.

Як приклад визначимо практичну ширину спектру періодичної послідовності прямокутних імпульсів при ширині імпульсів г, рівній Т/2 (рис. 1.17), якщо потрібно врахувати всі гармонійні складові сигналу, амплітуда яких більше 0,2 від амплітуди першої гармоніки. Число належних обліку гармонік п може бути одержано з виразу

де В — амплітуди гармонік, отже, п = 5.

Таким чином, практична ширина спектру в розглянутому прикладі опиняється рівною 5QU в ній розміщуються всього лише три гармоніки (перша, третя і п'ята) і постійна складова.

Середня потужність, що виділяється в активному опорі R = 1 Ом перерахованими складовими практичного спектру сигналу

Середня потужність /Vp, що виділяється в цьому ж опорі R = 1 Ом всіма складовими сигналу, буде

Таким чином, Лкр/Лоср" 100 = 96%, тобто складові, що входять в практичний спектр розглянутої періодичної послідовності прямокутних імпульсів, виділяють в активному опорі 96 % всієї потужності сигналу. Очевидно, розширення практичного спектру даного сигналу (зверху 5Qi) з енергетичної точки зору малодоцільно.

Обмеження спектру сигналу робить також вплив на його форму. Це призводить до того, що форма вихідного сигналу реальної передавальної системи відрізняється від форми вхідного сигналу. Покажемо графічно процес утворення періодичної послідовності прямокутних імпульсів при г = -у складанням гармонійних складових (див. рис. 1.17). Перші п'ять складових сигналу запишемо в наступному вигляді:

Рис. 1.17. Гармоніки періодичного сигналу

Початковий сигнал і перші п'ять гармонік зображені в масштабі на рис. 1.11,а і б. На рис. 1.17,6 зверху вниз показаний результат послідовного підсумовування цих складових сигналу. При складанні тільки постійної складової, першої і третьої гармонік виходить крива, що значно відрізняється від прямокутної. Додавання нових складових сигналу покращує форму останнього, наближаючи її до прямокутної. Чим крутіше повинен бути фронт імпульсу, тим більше число вищих гармонійних складових повинне входити до складу сигналу, тобто тим ширше повинен бути практичний спектр останнього.

Розглянута залежність форми періодичного сигналу від кількості підсумовуваних гармонік показує, що вибір практичної ширини спектру сигналу не може бути обмежений тільки енергетичними міркуваннями. При виборі практичної ширини спектру сигналу необхідно враховувати вимоги до сигналу на виході системи як з енергетичною, так і з погляду збереження його форми.

Неперіодичний сигнал, фізичним представленням якого є напруга (або струм), описується функцією f(t). Тоді виразом

(1.66)

визначиться енергія, що виділяється в активному опорі R = 1 Ом. Оскільки функція f(t) передбачається абсолютно інтегрованою, то цей інтеграл сходиться. Можна показати, що загальна енергія, що виділяється сигналом, виглядає як сума нескінченно малих доданків — F.F(ft>) l 2dw, відповідних нескінченно малим ділянкам частотного спектру. Вираз — Гр(ш) 1 с/ш є енергію, що виділяється спектральними складовими сигналу, розташованими в смузі частот da> у околиці частоти з.

Величина називається енергетичною спектральною щільністю неперіодичного сигналу і характеризує розподіл енергії по спектру.

Унаслідок кінцівки смуг пропускання реальних систем зв'язку і управління, як і у разі періодичного сигналу, через них можлива передача гармонійних складових, що займають обмежену область в спектральній характеристиці неперіодичного сигналу. Бажано передавати складові сигналу із значними амплітудами. Відносну інтенсивність складових легко визначити з розгляду модуля спектральної характеристики.

З енергетичної точки зору практична ширина спектру неперіодичного сигналу оцінюється по області частот, в межах якої зосереджена переважна частина всієї енергії сигналу.

Визначимо залежність значення енергії сигналу, зосередженої в смузі частот від 0 до соь від ширини цієї смуги, тобто від а>1. Відповідно до сказаного, енергія сигналу, зосереджена в смузі частот від 0 до Шу

(1.67)

Для одиночного прямокутного імпульсу можна записати

де дг

Замінивши межі 0 і -у- відповідно на х, і хг, а також підставивши sin2* = у - ycos x, знайдемо

де Sz(x)=

Враховуючи, що х( = 0, а хг = -х-, одержуємо

Множник В2х є повна енергія одиночного прямокутного імпульсу, що виділяється в активному опорі в 1 Ом. Тоді функція

(1.68)

очевидно, характеризує частину енергії одиночного прямокутного імпульсу, зосереджену в смузі частот від 0 до шь

На рис. 1.18 приведений графік функції VO^O- Залежно від вимог до частки корисно використовуваної енергії імпульсу вибирається практична ширина його спектру. Наприклад, при 2л-/ П в смузі частот від 0 до а>1 зосереджено більше 90 % всієї енергії одиночного прямокутного їм пульсу (див. рис. 1.18). При цьому подальше збільшення практичної ширини спектру такого імпульсу з енергетичної точки зору мало доцільно, бо при W > крива гр (а>\) вельми запони. Аналогічно встановлюється зв'язок між шириною смуги частот а>\ і частиною енергії, зосередженої в цій смузі (від 0 до І) ), для імпульсів іншої форми.

Рис. 1.18. Частка енергії одиночного прямокутного імпульсу в смузі 0

Нарешті, як і у разі періодичного сигналу, обмеження спектру неперіодичного сигналу робить вплив на його форму, тобто на виході системи з обмеженою смугою пропускання (реальної системи) форма сигналу відрізняється від форми вхідного сигналу.

Необхідно відзначити, що хоча між використовуваною часткою енергії вхідного сигналу і спотвореннями, що вносяться системою, існує прямий зв'язок, енергетичний підхід до вибору смуги пропускання системи (практичної ширини спектру сигналу) не завжди є вичерпним. Істотне розширення смуги пропускання (в порівнянні з потрібною з енергетичних міркувань) необхідне для забезпечення великої крутизни фронтів вихідного імпульсу. Дійсно, якщо при заданій смузі пропускання фільтру необмежено подовжувати імпульс, то значення використовуваної енергії прагне до максимального, а спотворення фронтів імпульсу залишаються незмінними.

Читайте також:

1. L2.T4/1.1. Засоби періодичного транспортування штучних матеріалів.
2. А — позитивна умовна реакція натискання на клавішу, В — бурхлива емоційно-рухова реакція за відсутності харчового підкріплення сигналу.
3. Аміноглікозиди (стрептоміцину сульфат, гентаміцину сульфат). Механізм і спектр протимікробної дії, застосування, побічні ефекти.
4. Аналіз властивостей аперіодичного підсилювального
5. Атомний абсорбційний спектрофотомер AAS-30
6. Відмінності лівого та правого політичних спектрів
7. ВЛАСТИВОСТІ СПЕКТРІВ
8. Гігієнічна оцінка різних частин спектра сонячної радіації та аналіз її пливу на здоров’я
9. ЕЛЕКТРИЧНІ СИГНАЛИ. СПЕКТРАЛЬНЕ ПРЕДСТАВЛЕННЯ СИГНАЛІВ
10. Енергія молекул. Молекулярні спектри
11. Застосування кольорової та спектрозональної аерофотозйомок
12. Зсув спектру сигналу

Переглядів: 4917