• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Зсув спектру сигналу

Застосуємо перетворення

До добутку

Перший інтеграл в правій частині є не що інше, як спектральна щільність функції при частоті , а другий інтеграл - при частоті . Тому отримане вище співвідношення можна записати у формі

(2.15)

де - спектральна щільність сигналу .

З виразу (2.15) випливає, що розчеплення спектра на дві частини, зміщені відповідно на и еквівалентно множенню функції на гармонійне коливання (при ).

2.3.4 Диференціювання та інтегрування сигналу

Диференціювання сигналу можна трактувати як почленне диференціювання всіх гармонійних складових, що входять до його спектру. Але похідна функції рівна з чого безпосередньо випливають такі відповідності:

(2.16)

При диференціюванні швидкість зміни сигналу в часі зростає. Як наслідок модуль спектру похідної має великі значення в області високих частот в порівнянні з модулем спектру вихідного сигналу.

У разі спектру похідної -го порядку

Диференціювання сигналу за часом еквівалентно простий алгебраїчної операції множення спектральної щільності на множник . Тому прийнято говорити, що уявне число є оператором диференціювання, чинним в частотній області.

Сигнал є первісною (невизначеним інтегралом по відношенню ).

З (2.16) формально випливає, що спектр першообразної

(2.17)

Таким чином, множник служить оператором інтегрування в частотній області.

2.3.5 Додавання сигналів

Так як перетворення Фур'є, є лінійним, що при додаванні сигналів володіють спектрами , сумарним сигналом відповідає спектр

2.3.6 Добуток двох сигналів

Нехай розглянутий сигнал є добутком двох функцій часу і .

Використовуючи формулу,

Визначаємо спектр сигналу

(2.18)

Кожну функцію можна представити інтегралом Фур'є:

Підставляючи в (2.18) другий і цих інтегралів, отримуємо

Змінивши порядок інтегрування будемо мати

Ув'язнений в квадратні дужки інтеграл по змінній являє собою спектральну щільність функції при частоті , тобто . Отже,

(2.19)

Отже, спектр добутку двох функцій часу і дорівнює, (з коефіцієнтами ) згортку їх спектрів і .

З виразів (2.18) і (2.19) в окремому випадку випливає наступна рівність:

Замінюючи в останньому виразі на отримуємо

(2.20)

2.4 Розподіл енергії в спектрі неперіодичного сигналу

Для знаходження енергії в спектрі неперіодичного сигналу здійснимо граничний перехід .

Якщо і являють собою одне і теж коливання,

то інтеграл

являє собою повну енергію сигналу . Крім того, добуток спектральних густин і приводиться до вигляду

де - спектр сигналу , а - модуль цього спектру.

Таким чином, відповідно до (2.20) приходимо до остаточного результату

(2.21)

Це співвідношення, що встановлює зв'язок між енергією сигналу і модулем його спектральної щільності, відоме під назвою рівність Парсеваля.

2.5 Спектри неперіодичних сигналів

2.5.1 Прямокутний імпульс

Найпростіше коливання, яке визначається виразом

і представлене на мал.2.4, набуло широкого поширення як в техніці, так і в теорії сигналів і кіл.

мал.2.4

Знайдемо спектральну щільність

(2.21)

Зауважимо, що добуток , рівне площі імпульсу, визначає значення спектральної щільності імпульсу при , тобто .

Таким чином (2.21) можна записати у формі

(2.22)

мал.2.5

2.5.2 Трикутний імпульс

Імпульс визначається виразом (мал.2.6)

мал.2.6 мал.2.7

Застосуємо властивості спектрів. Знайдемо спектральну щільність функції, що є похідною від заданого сигналу (мал.2.7) . Спектральна щільність прямокутного імпульсу тривалістю і амплітудою за аналогією з формулою (2.21) і з урахуванням зсуву середини імпульсу на час відносно точки .

Спектральна щільність негативного імпульсу, показаного на мал.2.7, відповідно

Сумарна щільність двох імпульсів

Спектральна щільність трикутного імпульсу, що є інтегралом від функцій , виходить розподілом попереднього виразу на :

(2.22)

Множник - площа трикутного імпульсу. Рівень бічних пелюсток спектра трикутного імпульсу убуває пропорційно , а не на, як у випадку прямокутного імпульсу (мал.2.6)

мал.2.6

2.5.3 Дзвіноподібний (Гаусівський) імпульс

Імпульс визначається виразом (мал.2.7)

(2.23)

Постійне має сенс половини тривалості імпульсу визначається на рівні від амплітуди імпульсу. Таким чином, повна тривалість імпульсу дорівнює .

мал.2.7

Спектральна щільність імпульсу визначається виразом

(2.24)

Для обчислення інтеграла зручно в підінтегральній функції доповнити показник степеня до квадрата суми

де величина визначається з умови

Звідки

(2.25)

Таким чином, вираз (2.24) можна привести до вигляду

Переходячи до нової змінної , отримуємо

Враховуючи, що входить в цей вираз інтеграл дорівнює , остаточно отримуємо

(2.26)

де

Графік цієї функції зображено на мал.2.8

мал.2.8

Гаусівський імпульс і його спектр виражаються однаковими функціями і мають властивості симетрії: для отримання однієї з них за заданою інший досить замінити на або навпаки. При цьому спектральна смуга, визначається на рівні від максимального значення, дорівнює , а коефіцієнт

Читайте також:

1. А — позитивна умовна реакція натискання на клавішу, В — бурхлива емоційно-рухова реакція за відсутності харчового підкріплення сигналу.
2. Ліцензування електромагнітного спектру
3. Передача утвореного больового сигналу по аферентних нервових шляхах
4. Перетворення ІКМ-сигналу в аналоговий сигнал
5. Поширення сигналу в ОК. Одномодові і багатомодові волокна. Числова апертура. Апертурний кут.
6. Пристрій вибірки-зберігання (ПВЗ) аналогового сигналу
7. Пристрої керування потужністю сигналу
8. Система створюється по замкненій схемі з використанням сигналу зворотнього зв’язку.
9. Структура цифрового сигналув ІКМ тракті СПІ
10. Фізичні основи обробки багаточастотного сигналу

Переглядів: 1905