Функція напружень для плоскої задачі в полярних координатах
Рішення плоскої задачі в полярних координатах у напруженнях полягає у відшуканні трьох функцій і , за допомогою трьох рівнянь: двох рівнянь рівноваги (4.1) і рівняння нерозривності деформацій (4.3) при обов'язковому задоволенні умов на поверхні.
Аналогічно тому, як було зроблено при рішенні плоскої задачі в декартових координатах, рішення в полярних координатах можна звести до відшукання однієї функції напружень . Виберемо цю функцію так, щоб напруження виражалися через неї в такий спосіб:
(4.24)
Підставляючи ці вирази в рівняння рівноваги (4.1), переконуємося, що при відсутності об'ємних сил останні обертаються в тотожності. Щоб перетворити рівняння нерозривності деформацій (4.3), складемо почленно формули для нормальних напружень (4.24)
.
Права частина цієї суми представлена оператором Лапласа над функцією . Отже,
і з рівняння (4.3) одержуємо
,
або
.
(4.25)
У розгорнутому виді рівняння нерозривності деформацій (4.25) записується в такий спосіб:
.
(4.26)
Таким чином, функція напружень для плоскої задачі в полярних координатах також повинна бути бігармонічною.