Зупинимося на плоских задачах, у яких напруження, а, отже, і функція не залежать від полярного кута . У цьому випадку бігармонічне рівняння (4.26) приймає більш простий вид:
,
або після диференціювання
.
(4.27)
Також спрощуються вираз напружень (4.24):
; ; .
(4.28)
При відсутності об'ємних сил залишиться тільки одне з рівнянь рівноваги (4.1)
.
(4.29)
Спростяться й геометричні співвідношення Коші (4.4), тому що складова переміщення v в силу симетрії дорівнює нулю:
; ; .
(4.30)
З формул закону Гука (4.5) залишаться лише дві:
(а)
Осесимметричну задачу в переміщеннях можна вирішити в загальному виді. З формул закону Гука (а) знаходимо
(б)
За допомогою співвідношень (4.30) виключаємо із цих рівнянь складові деформації:
Підставляючи ці напруження в рівняння рівноваги (4.29), одержуємо диференціальне рівняння відносно складового переміщення :
.
(4.31)
Воно має змінні коефіцієнти. Для рішення приведемо його до рівняння з постійними коефіцієнтами за допомогою наступної підстановки:
(4.32)
або
.
(в)
Диференціюючи вираз (4.32) по змінній , одержуємо
(г)
Встановимо зв'язок між похідними функції по старій і новій змінним:
З урахуванням рівності (г) одержуємо
(д)
Друга похідна
(е)
Підставляючи похідні (д) і (е) в рівняння (4.31), знаходимо
.
Рішення цього рівняння має вигляд
.
Вертаючись до старої змінної , відповідно до залежностей (4.32) і (в) одержуємо
.
(4.33)
Знаючи складову переміщення , знаходимо з рівнянь (4.30) складової деформації: