• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Декартовий (прямий) добуток множин

Окремо розглянемо ще одну дуже важливу операцію над множинами.

Означення 1.2.2. Декартовим (прямим) добутком множин A і B (записується A´B) називають множину всіх пар , в яких перша компонента належить множині A (aÎA), а друга – множині B (bÎB).

Тобто

A´B = { | aÎA і bÎB } або ÎA´B Û

Декартовий добуток природно узагальнюється на випадок довільної сукупності множин. Якщо A₁, A₂,..., A_n – множини, то їхнім декартовим добутком називають множину

D = { áa₁,a₂,...,a_nñ | a₁ÎA₁, a₂ÎA₂,..., a_nÎA_n },

яка складається з усіх наборів áa₁,a₂,...,a_nñ, в кожному з яких i-й член, що називається i-ю координатою або i-ю компонентою набору, належить множині A_i, i=1,2,...,n. Декартовий добуток позначається через A₁´ A₂´...´ A_n.

Як зазначалося, набір áa₁,a₂,...,a_nñ, щоб відрізнити його від множини, яка складається з елементів a₁,a₂,...,a_n, записують не у фігурних, а в круглих дужках і називають кортежем, вектором або впорядкованим набором. Довжиною кортежу називають кількість його координат. Два кортежі áa₁,a₂,...,a_nñ і áb₁,b₂,...,b_nñ однакової довжини вважаються рівними тоді і тільки тоді, коли рівні їхні відповідні координати, тобто a_i=b_i, i=1,2,...,n.

Декартовий добуток множини A на себе n разів, тобто множину A´A´...´A називають n-м декартовим (або прямим) степенем множини A і позначають Aⁿ.

Прийнято вважати, що A⁰ = Æ (n=0) і A¹ = A (n=1).

Наприклад, якщо A = {a,b} і B = {b,c,d}, то

A´B = {(a,b),(a,c),(a,d),(b,b),(b,c),(b,d)},

A² = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}.

Якщо R – множина дійсних чисел або множина точок координатної прямої, то R² – це множина пар (a,b), де a,bÎR, або множина точок координатної площини.

Координатне зображення точок площини вперше було запропоновано французьким математиком і філософом Рене Декартом, тому введена теоретико-множинна операція і називається декартовим добутком.

Операція декартового добутку неасоціативна і не комутативна, тобто множини (A´B)´C і A´(B´C), а також множини A´B і B´A, у загальному випадку, не рівні між собою.

Зв’язок декартового добутку з іншими теоретико-множинними операціями встановлюється такими тотожностями:

1. (A È B) ´ C = (A´C) È (B´C),

2. (AÇB) ´ C = (A´C)Ç(B´C),

3. A ´ (B È C) =(A´B) È (A´C),

4. A ´ (BÇC) =(A´B)Ç(A´C).

Читайте також:

1. Алгебра множин
2. Бюджетні множини й лінії бюджетного обмеження
3. В) добуток синусів і косинусів.
4. Векторний добуток векторів
5. Векторний добуток векторів.
6. Векторний добуток і його властивості.
7. Види відображень множин
8. Визначення добутку двох цілих невід’ємних чисел як числа елементів декартового добутку двох скінченних множин
9. Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).
10. Визначення загальної множини компонентів
11. Визначення множини допустимих планів задачі ЛП
12. Визначення суми на множині цілих невід’ємних чисел, її існування та єдиність. Операція додавання та її основні властивості (закони).

Переглядів: 3342