• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Практичне заняття 1.

Тема заняття.Застосування похідної до доведення тотожностей.

Теоретичний матеріал. До найбільш поширених в шкільному курсі математики відносяться задачі на тотожні перетворення. В одних випадках вимагається спростити вираз, довести тотожність, в інших – тотожні перетворення застосовуються як допоміжні засоби при розв’язуванні рівнянь, нерівностей і т.п.

Нехай тотожні перетворення деякого виразу важко виконувати.

Розглянемо цей вираз як функцію деякої змінної величини . Може статися, що похідна функції легше спрощується. Виконаємо відповідні перетворення похідної, а потім повернемось до початкової функції.

Слід мати на увазі, що похідна визначає вихідну функцію з точністю до сталої.

Теорема.Якщо функції і диференційовані на інтервалі і , , то .

Зокрема, якщо функція диференційована на інтервалі і , , то функція на інтервалі тотожно дорівнює сталій, тобто .

Найбільший ефект приносить застосування ознаки сталості функції в тотожних перетвореннях виразів, які містять обернені тригонометричні функції.

Зауваження.Повторіть таблицю похідних, відому вам з курсу математичного аналізу.

Приклад 1.Доведіть тотожність

.

Доведення. Будемо вважати і сталими, тоді ліву і праву частину даної рівності можна розглядати як функції від .

Маємо, , .

Продиференціюємо функції і :

,

.

Отже, .

Виходячи з цього на основі теореми робимо висновок про те, що , де .

Щоб визначити значення сталої , достатньо обчислити значення і в будь-якій спільній точці.

Так, наприклад, в точці : ;

Отже, . Тобто . Звідки . Тому . А отже, рівність, яку слід було довести, виконується.

Приклад 2.Доведіть тотожність

.

Доведення. Допоміжна функція

визначена і диференційована на множині R.

Знайдемо її похідну.

.

Отже, .

Визначимо . . Отже, і рівність, яку слід було довести, виконується.

Приклад 3.Доведіть тотожність:

.

Доведення. Розглянемо функцію

визначену при .

Знайдемо :

.

Оскільки , то .

Знайдемо .

.

Отже, рівність, яку потрібно довести, виконується.

Приклад 4.Доведіть тотожність:

.

Доведення. Функція диференційована на множині .

.

Таким чином .

.

Отже, .

Приклад 5.Доведіть тотожність:

Доведення. Розглянемо функцію .

Знайдемо її похідну для .

Це означає, що на кожному з проміжків , , дана функція тотожно дорівнює деякій константі.

Для кожного проміжку слід вибрати по одній пробній точці і обчислити значення функції в цій точці.

1) .

.

2) . Легко переконатись, що .

3) . Знаходимо, що

Отже, тотожність, яку слід було довести, істинна.

Читайте також:

1. II. Основна частина ЗАНЯТТЯ
2. III. Підсумок ЗАНЯТТЯ
3. IV ПІДСУМОК ЗАНЯТТЯ.
4. IV ПІДСУМОК ЗАНЯТТЯ.
5. IV. Підсумок ЗАНЯТТЯ
6. IV. Підсумок ЗАНЯТТЯ
7. IV. Підсумок ЗАНЯТТЯ
8. IV. Підсумок ЗАНЯТТЯ
9. IV. Підсумок ЗАНЯТТЯ
10. IV. Підсумок ЗАНЯТТЯ
11. IV. Підсумок ЗАНЯТТЯ
12. IV. Підсумок ЗАНЯТТЯ

Переглядів: 527