• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Практичне заняття 10.

Тема заняття.Застосування інтеграла до доведення нерівностей.

Теоретичний матеріал.

Сформулюємо теорему про середнє значення та наслідок з неї, який використовується під час доведення нерівностей.

Теорема.Якщо функції і неперервні на відрізку і функція не змінює знак на цьому відрізку, то , де - деяка точка на проміжку .

Наслідок. ,де - найменше і найбільше значення функції на проміжку .

Зокрема, якщо , то:

.

Якщо функції і строго монотонні на відрізку, то будемо мати строгі подвійні нерівності.

Розглянемо приклади застосування наслідку з теореми про середнє до доведення подвійних нерівностей.

Приклад 1.Доведіть нерівність

, якщо .

Вказівка. Розгляньте інтеграл .

Розв’язання. Підінтегральна функція спадає на довільному проміжку , якщо . Тому найменше значення цієї функції на даному проміжку , а найбільше значення .

Застосовуючи наслідок з теореми про середнє, одержуємо:

.

Обчислимо інтеграл, застосовуючи формулу Ньютона-Лейбніца.

.

Отже, .

Приклад 2.Доведіть нерівність .

Доведення.

Функція монотонно зростає на відрізку , оскільки .

Тому, , .

За наслідком з теореми про середнє маємо:

, отже, маємо нерівність , яку слід було довести.

Читайте також:

1. II. Основна частина ЗАНЯТТЯ
2. III. Підсумок ЗАНЯТТЯ
3. IV ПІДСУМОК ЗАНЯТТЯ.
4. IV ПІДСУМОК ЗАНЯТТЯ.
5. IV. Підсумок ЗАНЯТТЯ
6. IV. Підсумок ЗАНЯТТЯ
7. IV. Підсумок ЗАНЯТТЯ
8. IV. Підсумок ЗАНЯТТЯ
9. IV. Підсумок ЗАНЯТТЯ
10. IV. Підсумок ЗАНЯТТЯ
11. IV. Підсумок ЗАНЯТТЯ
12. IV. Підсумок ЗАНЯТТЯ

Переглядів: 378