Практичне заняття 10.

Тема заняття.Застосування інтеграла до доведення нерівностей.

Теоретичний матеріал.

Сформулюємо теорему про середнє значення та наслідок з неї, який використовується під час доведення нерівностей.

Теорема.Якщо функції і неперервні на відрізку і функція не змінює знак на цьому відрізку, то , де - деяка точка на проміжку .

Наслідок. ,де - найменше і найбільше значення функції на проміжку .

Зокрема, якщо , то:

Якщо функції і строго монотонні на відрізку, то будемо мати строгі подвійні нерівності.

Розглянемо приклади застосування наслідку з теореми про середнє до доведення подвійних нерівностей.

Приклад 1.Доведіть нерівність

, якщо .

Вказівка. Розгляньте інтеграл .

Розв’язання. Підінтегральна функція спадає на довільному проміжку , якщо . Тому найменше значення цієї функції на даному проміжку , а найбільше значення .

Застосовуючи наслідок з теореми про середнє, одержуємо:

Обчислимо інтеграл, застосовуючи формулу Ньютона-Лейбніца.

Отже, .

Приклад 2.Доведіть нерівність .

Доведення.

Функція монотонно зростає на відрізку , оскільки .

Тому, , .

За наслідком з теореми про середнє маємо:

, отже, маємо нерівність , яку слід було довести.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ	\|	ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.