МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Екстремум ф-ї. Необхідна умова існування екстремуму. (Теорема Ферма).Означення: точка х0 із області визначення y=f(x) називається точкою min(max) цієї ф-ї , якщо знайдеться дельта окіл в точці х0 , що для всіх х, що не співпадають із х0 з цього околу виконується рівність: f(x0)<f(x), [f(x0)>f(x)]. Точки Min(max) називаються точками екстремуму. А значення ф-ї в цих точках екстремумом ф-ї. Теорема Ферма: якщо ф-я y=f(x) диференційована в точці х0 і її околі, а точка х0 –є точкою екстремуму цієї ф-ї, то похідна в точці х0=0.Необхідна умова існування екстремумів в більш загальному вигляді формулюється так: якщо ф-я y=f(x) визначена в околі точки х0 за виключенням може самої точки х0, має в точці х0 екстремум, то похідна в цій точці дорівнює нулю або нескінченості. Означення: точки, в яких перша похідна =0, або не існує називаються стаціонарними або критичними точками першого роду. Необхідна умова існування похідної це: f/(х)=0 або f/(х)=+-нескінченості. 56. Достатні умови екстремуму функції однієї змінної. Перша достатня умова існування екстремуму функції. Теорема. Якщо ф-ція y=f(x) неперервна в т. хо і деякому δ-околі цієї т., має похідну, крім, може, в самій т. хо , тоді – 1) Якщо f’(x) при переході через т. хо змінює знак з + на - , то хо - т. максимуму. 2) Якщо f’(x) при переході через т. хо змінює знак з – на + , то хо - т. мінімуму. 3) Якщо f’(x) при переході через т. хо знак не змінює, то хо не є т. екстремуму. Доведення. Нехай f’(x) змінює знак з + на – при переході через т. хо . Покажемо, що т. хо - т. максимуму. Якщо похідна змінює свій знак, то це означає, що існує δ>0 (δ-окіл т. хо ), що f’(x)>0 для любого х є [хо - δ; хо ] f’(x)<0 для любого х є [хо ; хо + δ]. це означає, що на [хо - δ; хо ] ф-ція зростає, на [хо ; хо + δ] – спадає. Звідси випливає, що зн-ня ф-ції в т. хо , яке існує в силу неперервності ф-ції в т. хо є найбільшим на [хо - δ; хо +δ]. Отже, т. хо - т. максимуму. Друга достатня умова існування екстремуму ф-ції. Теорема. Якщо ф-ція y=f(x) визначена і двічі диференційована в деякому околі т. хо , причому f’(x)=0, а f’’(хо )≠0, то в т. хо ф-ція 1) має максимум, якщо f’’(хо )<0 2) має мінімум, якщо f’’(хо )>0 3) Доведення. Для визначеності будемо вважати, що f’’(хо )<0. За означенням lim . але за умовою теореми f’(x)=0, тоді lim . За припущенням f’’(хо )<0 . Тоді із означення границі випливає, що в околі деякої т. хо маємо y’’= lim <0, <0. Дослідимо цей дріб на знак в залежності від ∆х. y’’<0, коли в чисельнику і знаменнику будуть різні знаки. y’’(хо )= lim . <0 - a) ∆f’(x)<0, ∆x>0 → x>хо b) ∆f’(x)>0, ∆x<0 → x<хо . Таким чином, в т. хо ф-ція має максимум. 56. Достатні умови екстремуму функції однієї змінної. Перша достатня умова існування екстремуму функції. Теорема. Якщо ф-ція y=f(x) неперервна в т. хо і деякому δ-околі цієї т., має похідну, крім, може, в самій т. хо , тоді – 4) Якщо f’(x) при переході через т. хо змінює знак з + на - , то хо - т. максимуму. 5) Якщо f’(x) при переході через т. хо змінює знак з – на + , то хо - т. мінімуму. 6) Якщо f’(x) при переході через т. хо знак не змінює, то хо не є т. екстремуму. Доведення. Нехай f’(x) змінює знак з + на – при переході через т. хо . Покажемо, що т. хо - т. максимуму. Якщо похідна змінює свій знак, то це означає, що існує δ>0 (δ-окіл т. хо ), що f’(x)>0 для любого х є [хо - δ; хо ] f’(x)<0 для любого х є [хо ; хо + δ]. це означає, що на [хо - δ; хо ] ф-ція зростає, на [хо ; хо + δ] – спадає. Звідси випливає, що зн-ня ф-ції в т. хо , яке існує в силу неперервності ф-ції в т. хо є найбільшим на [хо - δ; хо +δ]. Отже, т. хо - т. максимуму. Друга достатня умова існування екстремуму ф-ції. Теорема. Якщо ф-ція y=f(x) визначена і двічі диференційована в деякому околі т. хо , причому f’(x)=0, а f’’(хо )≠0, то в т. хо ф-ція 4) має максимум, якщо f’’(хо )<0 5) має мінімум, якщо f’’(хо )>0 6) Доведення. Для визначеності будемо вважати, що f’’(хо )<0. За означенням lim . але за умовою теореми f’(x)=0, тоді lim . За припущенням f’’(хо )<0 . Тоді із означення границі випливає, що в околі деякої т. хо маємо y’’= lim <0, <0. Дослідимо цей дріб на знак в залежності від ∆х. y’’<0, коли в чисельнику і знаменнику будуть різні знаки. y’’(хо )= lim . <0 - a) ∆f’(x)<0, ∆x>0 → x>хо b) ∆f’(x)>0, ∆x<0 → x<хо . Таким чином, в т. хо ф-ція має максимум.
57.Опуклість і угнутість графіка ф-ї. Необхідна і достатня ознаки опуклості графіка ф-ї. Означення: графік ф-ї y=f(x) називається опуклим на інтервалі (а,в) якщо графік розташований нижче любої дотичної , проведеної до графіка ф-ї в точках інтервала (а,в).Означення: графік ф-ї y=f(x) називається угнутим на відрізку (а,в) якщо графік розташований вище любої дотичної , проведеної до графіка ф-ї в точках інтервала (а,в). Достатня умова опуклості графіка ф-ї: нехай ф-я y=f(x) визначена і двічі неперервно диференційована в точці „х” інтервала (а,в). Тоді, якщо у всіх точках „х” інтервала (а,в) друга похідна у// >0, то графік ф-ї буде угнутим(U). Якщо для любого „х”, що належить (а,в) у//<0, то графік ф-ї опуклий(∩). Читайте також:
|
||||||||
|