Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция






Екстремум ф-ї. Необхідна умова існування екстремуму. (Теорема Ферма).

Означення: точка х0 із області визначення y=f(x) називається точкою min(max) цієї ф-ї , якщо знайдеться дельта окіл в точці х0 , що для всіх х, що не співпадають із х0 з цього околу виконується рівність: f(x0)<f(x), [f(x0)>f(x)]. Точки Min(max) називаються точками екстремуму. А значення ф-ї в цих точках екстремумом ф-ї. Теорема Ферма: якщо ф-я y=f(x) диференційована в точці х0 і її околі, а точка х0 –є точкою екстремуму цієї ф-ї, то похідна в точці х0=0.Необхідна умова існування екстремумів в більш загальному вигляді формулюється так: якщо ф-я y=f(x) визначена в околі точки х0 за виключенням може самої точки х0, має в точці х0 екстремум, то похідна в цій точці дорівнює нулю або нескінченості. Означення: точки, в яких перша похідна =0, або не існує називаються стаціонарними або критичними точками першого роду. Необхідна умова існування похідної це:

f/(х)=0 або f/(х)=+-нескінченості.

56. Достатні умови екстремуму функції однієї змінної.

Перша достатня умова існування екстремуму функції.

Теорема. Якщо ф-ція y=f(x) неперервна в т. хо і деякому δ-околі цієї т., має похідну, крім, може, в самій т. хо , тоді –

1) Якщо f’(x) при переході через т. хо змінює знак з + на - , то хо - т. максимуму.

2) Якщо f’(x) при переході через т. хо змінює знак з – на + , то хо - т. мінімуму.

3) Якщо f’(x) при переході через т. хо знак не змінює, то хо не є т. екстремуму.

Доведення. Нехай f’(x) змінює знак з + на – при переході через т. хо . Покажемо, що т. хо - т. максимуму.

Якщо похідна змінює свій знак, то це означає, що існує δ>0 (δ-окіл т. хо ), що

f’(x)>0 для любого х є [хо - δ; хо ]

f’(x)<0 для любого х є [хо ; хо + δ].

це означає, що на [хо - δ; хо ] ф-ція зростає, на [хо ; хо + δ] – спадає. Звідси випливає, що зн-ня ф-ції в т. хо , яке існує в силу неперервності ф-ції в т. хо є найбільшим на [хо - δ; хо +δ]. Отже, т. хо - т. максимуму.

Друга достатня умова існування екстремуму ф-ції.

Теорема. Якщо ф-ція y=f(x) визначена і двічі диференційована в деякому околі т. хо , причому f’(x)=0, а f’’(хо )≠0, то в т. хо ф-ція

1) має максимум, якщо f’’(хо )<0

2) має мінімум, якщо f’’(хо )>0

3) Доведення. Для визначеності будемо вважати, що f’’(хо )<0. За означенням lim . але за умовою теореми f’(x)=0, тоді lim . За припущенням f’’(хо )<0

. Тоді із означення границі випливає, що в околі деякої т. хо маємо y’’= lim <0, <0. Дослідимо цей дріб на знак в залежності від ∆х. y’’<0, коли в чисельнику і знаменнику будуть різні знаки.

y’’(хо )= lim . <0 - a) ∆f’(x)<0, ∆x>0 → x>хо

b) ∆f’(x)>0, ∆x<0 → x<хо .

Таким чином, в т. хо ф-ція має максимум.

56. Достатні умови екстремуму функції однієї змінної.

Перша достатня умова існування екстремуму функції.

Теорема. Якщо ф-ція y=f(x) неперервна в т. хо і деякому δ-околі цієї т., має похідну, крім, може, в самій т. хо , тоді –

4) Якщо f’(x) при переході через т. хо змінює знак з + на - , то хо - т. максимуму.

5) Якщо f’(x) при переході через т. хо змінює знак з – на + , то хо - т. мінімуму.

6) Якщо f’(x) при переході через т. хо знак не змінює, то хо не є т. екстремуму.

Доведення. Нехай f’(x) змінює знак з + на – при переході через т. хо . Покажемо, що т. хо - т. максимуму.

Якщо похідна змінює свій знак, то це означає, що існує δ>0 (δ-окіл т. хо ), що

f’(x)>0 для любого х є [хо - δ; хо ]

f’(x)<0 для любого х є [хо ; хо + δ].

це означає, що на [хо - δ; хо ] ф-ція зростає, на [хо ; хо + δ] – спадає. Звідси випливає, що зн-ня ф-ції в т. хо , яке існує в силу неперервності ф-ції в т. хо є найбільшим на [хо - δ; хо +δ]. Отже, т. хо - т. максимуму.

Друга достатня умова існування екстремуму ф-ції.

Теорема. Якщо ф-ція y=f(x) визначена і двічі диференційована в деякому околі т. хо , причому f’(x)=0, а f’’(хо )≠0, то в т. хо ф-ція

4) має максимум, якщо f’’(хо )<0

5) має мінімум, якщо f’’(хо )>0

6) Доведення. Для визначеності будемо вважати, що f’’(хо )<0. За означенням lim . але за умовою теореми f’(x)=0, тоді lim . За припущенням f’’(хо )<0

. Тоді із означення границі випливає, що в околі деякої т. хо маємо y’’= lim <0, <0. Дослідимо цей дріб на знак в залежності від ∆х. y’’<0, коли в чисельнику і знаменнику будуть різні знаки.

y’’(хо )= lim . <0 - a) ∆f’(x)<0, ∆x>0 → x>хо

b) ∆f’(x)>0, ∆x<0 → x<хо .

Таким чином, в т. хо ф-ція має максимум.

 

57.Опуклість і угнутість графіка ф-ї. Необхідна і достатня ознаки опуклості графіка ф-ї.

Означення: графік ф-ї y=f(x) називається опуклим на інтервалі (а,в) якщо графік розташований нижче любої дотичної , проведеної до графіка ф-ї в точках інтервала (а,в).Означення: графік ф-ї y=f(x) називається угнутим на відрізку (а,в) якщо графік розташований вище любої дотичної , проведеної до графіка ф-ї в точках інтервала (а,в). Достатня умова опуклості графіка ф-ї: нехай ф-я y=f(x) визначена і двічі неперервно диференційована в точці „х” інтервала (а,в). Тоді, якщо у всіх точках „х” інтервала (а,в) друга похідна у// >0, то графік ф-ї буде угнутим(U). Якщо для любого „х”, що належить (а,в) у//<0, то графік ф-ї опуклий(∩).


Читайте також:

  1. Автономне існування людини в екстремальних умовах
  2. Актуальність і завдання курсу безпека життєдіяльності. 1.1. Проблема безпеки людини в сучасних умовах.
  3. Аналіз ефективності реальних інвестиційних проектів в умовах ризику
  4. Аналіз та оцінка інвестування в умовах ризику. Якісні та кількісні методи оцінювання проектних ризиків.
  5. Аналітична робота в умовах кризи.
  6. Аналогічно доводиться достатність умови існування максимуму.
  7. Анімізм – уявлення про існування духовних істот та віра в можливість спілкування з ними.
  8. АТ – одна з найбільш зручних форм колективного підприємства в умовах ринкової економіки. Першим АТ вважають створену у 1602 році Голандсько –Ост - Індську компанію.
  9. Атестація робочих місць з шкідливими і небезпечними умовами праці.
  10. Атестація робочих місць за умовами праці
  11. Атестація робочих місць за умовами праці
  12. Атестація робочих місць за умовами праці




Переглядів: 8800

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Похідні вищих порядків. | Точки перегину. Необхідна і достатня умови існування точок перегину.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.005 сек.