Похідні вищих порядків.

Нехай ф-я у=f(x) диференційована на всій числовій осі. Похідна від похідної першого порядку називається похідною другого порядку. у^/=f^/(x),(y/)=f^//(x). Часто трапляється що похідна другого порядку також є диференційованою ф-єю. Тоді похідну 3-го порядку знаходять як похідну від похідної 2-го порядку.(у^//)=f^///(х).Похідною к-го порядку називається похідна від похідної к-1го порядку:

(у^(к-1) )^/=f⁽^k⁾(x).

Похідні вищих порядків від ф-ї, заданої неявно. Нехай ф-я задана неявно F(x,y)=0 або у^/=f(x,y) (1).

Враховуючи, що у є ф-я від х, продиференцюємо ліву і праву частину рівності (1) по аргументу х, а потім у правій частині замінимо у^/ рівністю (1).Аналогічно поступаємо при визначенні похідної більш високих порядків.

Похідні вищих порядків від ф-й ,заданих параметрично. Якщо ф-я задана параметрично {^x⁼^v⁽^t⁾

y=f(t),то

у^/=f^|(t)/x^/(t),у^/=f^/(t)/x^/(t)=F(t) (*).Другу похідну від у по іксу знайдемо диференціюючи рівність по іксу. Маємо : y^//_хх=F^/_х(t)=dF(t)/dx=dF(t)/dt*dt/dx.

53.Основні теореми диференціального числення. Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя.

Теорема Ролля. Якщо ф-я f(x) неперервна на відрізку [а,в], диференційована в усіх внутрішніх точках цього відрізка, на кінцях відрізка обертається в нуль, то всередині відрізка [а,в] існує точка „с” така, що f^/(c)=0. a<=c<=b.Теорема Лагранжа. Якщо ф-я y=f(x) неперервна на відрізку (а,в) і диференційована в кожній точці цього відрізка, то всередині відрізка (а,в) знайдеться така точка „с” (принаймні одна) , що f(b)-f(a)/b-a=f^/(c).Теорема Коші. Якщо функції y=f(x) і y=g(x) неперервні на відрізку (а,в), диференційовані у всіх внутрішніх точках цього відрізку , при чому g^/(х) не =0 в жодній точці цього відрізка, тоді всередині відрізка (а,в) існує така точка „с”, що f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f^/(с)/g^/(c).

А<c<b.Правило Лопіталя. Якщо ф-ї y=f(x) і y=g(x) на відрізку (а,в) задовольняють умовам теореми Коші і обертаються в нуль, при х=а, тобто f(a)=g(a)=0, тоді якщо існує границя lim f^/(х)/g^/(х), то існує границя lim f(x)/g(x), при чому lim f(x)/g(x)=lim f^/(x)/g^/(x).

Зростання й спадання ф-ї. Необхідна і достатня умови зростання(спадання) ф-ї.

Означення: ф-я називається зростаючою на інтервалі (а,в) якщо для любих х₀ і х із цього інтервалу із умови х-х₀>f(x)>F(x₀).Тобто х-х₀=∆х>0.f(x)-f(x₀)=∆f(x)>0. Таким чином ф-я зростаюча, якщо приріст ф-ї і приріст аргументу одного знаку. Ф-я спадна, якщо приріст ф-ї і приріст аргументу різних знаків.

Теорема: якщо ф-я y=f(x) визначена на інтервалі (а,в) і має в кожній точці цього інтервалу похідні, то для зростаючих ф-й похідна невід”ємна, а для спадних ф-й похідна недодатня в кожній точці цього інтервалу. Достатня умова зростання(спадання) ф-ї: якщо ф-я y=f(x) визначена і диференційована в кожній точці відрізка (а,в), то якщо похідна (f^/(х))>0, то ф-я f(x) зростає, якщо похідна f^/(x)<0-ф-я спадає.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Диференціал функції. Застосування диференціала в наближених обчисленнях. Геометричний зміст диференціала і його властивості. Інваріантність.	\|	Екстремум ф-ї. Необхідна умова існування екстремуму. (Теорема Ферма).

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.