• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Похідні вищих порядків.

Нехай ф-я у=f(x) диференційована на всій числовій осі. Похідна від похідної першого порядку називається похідною другого порядку. у^/=f^/(x),(y/)=f^//(x). Часто трапляється що похідна другого порядку також є диференційованою ф-єю. Тоді похідну 3-го порядку знаходять як похідну від похідної 2-го порядку.(у^//)=f^///(х).Похідною к-го порядку називається похідна від похідної к-1го порядку:

(у^(к-1) )^/=f^(k)(x).

Похідні вищих порядків від ф-ї, заданої неявно. Нехай ф-я задана неявно F(x,y)=0 або у^/=f(x,y) (1).

Враховуючи, що у є ф-я від х, продиференцюємо ліву і праву частину рівності (1) по аргументу х, а потім у правій частині замінимо у^/ рівністю (1).Аналогічно поступаємо при визначенні похідної більш високих порядків.

Похідні вищих порядків від ф-й ,заданих параметрично. Якщо ф-я задана параметрично {^x=v(t)

y=f(t),то

у^/=f^|(t)/x^/(t),у^/=f^/(t)/x^/(t)=F(t) (*).Другу похідну від у по іксу знайдемо диференціюючи рівність по іксу. Маємо : y^//_хх=F^/_х(t)=dF(t)/dx=dF(t)/dt*dt/dx.

53.Основні теореми диференціального числення. Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя.

Теорема Ролля. Якщо ф-я f(x) неперервна на відрізку [а,в], диференційована в усіх внутрішніх точках цього відрізка, на кінцях відрізка обертається в нуль, то всередині відрізка [а,в] існує точка „с” така, що f^/(c)=0. a<=c<=b.Теорема Лагранжа. Якщо ф-я y=f(x) неперервна на відрізку (а,в) і диференційована в кожній точці цього відрізка, то всередині відрізка (а,в) знайдеться така точка „с” (принаймні одна) , що f(b)-f(a)/b-a=f^/(c).Теорема Коші. Якщо функції y=f(x) і y=g(x) неперервні на відрізку (а,в), диференційовані у всіх внутрішніх точках цього відрізку , при чому g^/(х) не =0 в жодній точці цього відрізка, тоді всередині відрізка (а,в) існує така точка „с”, що f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f^/(с)/g^/(c).

А<c<b.Правило Лопіталя. Якщо ф-ї y=f(x) і y=g(x) на відрізку (а,в) задовольняють умовам теореми Коші і обертаються в нуль, при х=а, тобто f(a)=g(a)=0, тоді якщо існує границя lim f^/(х)/g^/(х), то існує границя lim f(x)/g(x), при чому lim f(x)/g(x)=lim f^/(x)/g^/(x).

Зростання й спадання ф-ї. Необхідна і достатня умови зростання(спадання) ф-ї.

Означення: ф-я називається зростаючою на інтервалі (а,в) якщо для любих х₀ і х із цього інтервалу із умови х-х₀>f(x)>F(x₀).Тобто х-х₀=∆х>0.f(x)-f(x₀)=∆f(x)>0. Таким чином ф-я зростаюча, якщо приріст ф-ї і приріст аргументу одного знаку. Ф-я спадна, якщо приріст ф-ї і приріст аргументу різних знаків.

Теорема: якщо ф-я y=f(x) визначена на інтервалі (а,в) і має в кожній точці цього інтервалу похідні, то для зростаючих ф-й похідна невід”ємна, а для спадних ф-й похідна недодатня в кожній точці цього інтервалу. Достатня умова зростання(спадання) ф-ї: якщо ф-я y=f(x) визначена і диференційована в кожній точці відрізка (а,в), то якщо похідна (f^/(х))>0, то ф-я f(x) зростає, якщо похідна f^/(x)<0-ф-я спадає.

Читайте також:

1. XVIII. Особливості прийому та навчання іноземців та осіб без громадянства у вищих навчальних закладах України
2. XX1. Забезпечення відкритості та прозорості при проведенні прийому до вищих навчальних закладів
3. Вимоги до державної атестації випускників вищих навчальних закладів
4. Вищих навчальних закладів
5. Вищих навчальних закладів
6. Диференціали вищих порядків.
7. Етап підготовки до вищих досягнень
8. З «Записки про Берлінську нараду від 6 лютого 1918 р.» вищих урядовців Німеччини і Австро-Угорщини щодо переговорів у Бресті-Литовському
9. Забезпечення відкритості та прозорості при проведенні прийому до вищих навчальних закладах.
10. Загальна характеристика вищих рослин.
11. Загальна характеристика професійної діяльності психолога у спорті вищих досягнень.
12. Історія розвитку методу культури клітин вищих рослин

Переглядів: 1036