Диференціал функції. Застосування диференціала в наближених обчисленнях. Геометричний зміст диференціала і його властивості. Інваріантність.
Диференціалом функції у = f(x) назив головна частина приросту функції, лінійна відносно ∆х і позначається dy = y/x * ∆х. Знайдемо диф функції у=х, dx= (x)/ *∆х=∆х. Таким чином, дифер незалежної змінної х дорівнює її приросту. А тому диференціал іноді записують dy = y/ dx.
Властивості диференціала:
1.d(c)=0
2.d(cu)=cu/dx
3.d(u±v/)=du±dv/
4.d(uv)/=vdu+udv
5.d(u/v)=(vdu -udv)/v2
Геометричний зміст диференціала:
Розглянемо функцію у = f(x) і її графік. Незай точка М(хо;уо) належить графіку. Через М0 проведемо дотичну М0Т до графіка під кутом α до додатного напрямку осі ОХ. Нехай х0 одержав приріст ∆х. Тоді і у0 одержав приріст ∆х. В ∆М0NP: NP= ∆х* tg α = y/(x0)* ∆х= dy. Таким чином , диференціал функції- це приріст ординати дотичної, проведеної до графіка функції у = f(x) в даній точці, коли аргумент х одержує приріст ∆х.Але не завжди dy<∆y.
Тут буде графік
Інваріантність:
Відомо , що dy = y/dx.Нехай задано функцію y=f(u), де u=u(x). Знайдемо диференціал складної функції. dy = f/u * u/xdx. dy= f/u*(du/dx)*dx= f/u *du. Замітимо, що формула має такий же вигляд, як і для простої функції. Ця властивість називається інваріантність(властивість зберігати незмінною свою форму, незалежно від того задається функція аргументом х, чи функція від функції).