Похідна складної функції

Якщо функція u=γ(x) має похідну u_x^/ в деякій точці х, а функція у=f(γ(x)) має похідну f_u^/ в деякій точці u, то функція у= f(γ(x)) має похідну у_х^/ в деякій точці х, яка знаходиться за формулою у_х^/= f_u^/* u_x^/. Тобто , похідна складної функції по аргументу х дор добутку похідної даної функції по проміжному аргументу на похідну проміжного аргумента.

Таблиця похідних складної функції:

1. (с)^/= 0, с = сonst

2. (uⁿ)^/= nu^n-1*u_x^/

3. (1/u)^/= -1/u² * u_x^/

4. (√u)^/= 1/2√u * u_x^/

5. (e^u)^/= e^{u *}u_x^/

6. (a^u)^/=a^uln_a * u_x^/

48.Параметричнезадання функції.Похідна від функції заданої параметрично

Поряд з явним і неявним заданням функції використ параметричне. При параметр заданні функції х і у є функції деякої змінної t, яка називається параметром. Кожному значенню параметру t відповідають значення х і у. Якщо х і у розглядати як координати точки на площині, то кожному параметру t відповідає певна точка площини. Якщо t змінюється від T₁ до T₂ , то ця точка буде описувати деяку криву.

y^/_x₌f^/_t / γ^/_t – похідна від функції, заданої параметрично.

49.Логарифмічне диференціювання. Неявні функції і їх диференціювання.

Логарифмічне диф:

Нехай задано функцію у=α(х) ^β(х). Щоб знайти похідну цієї функції потрібно спочатку про логарифмувати обидві частини функції.

lny = ln α(х) ^β(х) = β(x) * ln α(х) . А потім про диференціювати в припущенні що

1/у * у^/= β^/(x) * ln α(х) +( β(x)* α^/(х)/ α(х))

y^/=[ β^/(x) * ln α(х) + β(x)*( α^/(х)/ α(х))] y = [ β^/(x) * ln α(х) + β(x)*( α^/(х)/ α(х))] α(х) ^β(х)

Логарифм диф застос тоді, коли функція представлена як добуток декількох функцій і при диф степенево-показникових функцій.

Неявні функції:

Якщо залежність між х і у задано формулою, з якої неможна виразити ні х ні у , то кажуть, що функцію задано неявно. Щоб про диференціювати функцію необхідно:

1.Диференціюють ліву і праву частину формули по змінній х в припущенні, що у – функція від х і результат прирівнюють до 0.

2.З одержаного рівняння знаходять у^/.

Диференціювання обернених функцій.

Якщо для функції у = f(x) існує обернена х = γ(у), яка має похідну в деякій точці у, то функція у = f(x) має похідну в деякій точці х, яка визначається за формулою f^/(x)= 1/ γ^/(у), γ^/(у)≠0

Доведення:Нехай для функції у = f(x) існує обернена х = γ(у) . Тоді у = f(γ(у)). Знайдемо похідну лівої і правої частини.(х)^/=( γ(у))^/. 1= γ_у^/* y_x^/→ y_x^/=1/ γ(у)^/.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Похідна ф-ції.Необхідна умова існування ф-ції.Геометричний та економічний зміст похідної.	\|	Диференціал функції. Застосування диференціала в наближених обчисленнях. Геометричний зміст диференціала і його властивості. Інваріантність.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.008 сек.