• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Основні методи обчислення визначеного інтеграла( безпосереднє, частинами).

Безпосереднє інтегрування основане на застосуванні властивостей, таблиці інтегрування і в разі необхідності тотожних перетворень підінтегральної функції.

Інтегрування частинами:

Нехай U i V неперервні на відрізку [a,b], які мають інтегровані похідні на відрізку [a,b].

74. Заміна змінної у визначеному інтегралі.

Нехай дано інтеграл , де f(x) неперервна на відрізку [a,b]. Введемо нову змінну t за формулою: х= . Якщо функція х= задовольняє умову :

1.х= і неперервна на

2.

Якщо неперервна на відрізку [ ], то має місце формула:

75. Геометричні застосування визначеного інтеграла. Обчислення 1) площі плоских фігур; 2)обємів тіл; 3)довжини дуги кривої.

1) a)Фігура, обмежена графіком неперервної і невідємної на відрізку [a; b] y=f(x), x=a, x=b, y=0: S= (1)

b) Фігура, обмежена неперервною і недодатною на [a; b] ф-цією y=f(x), прямими x=a, x=b, y=0: S=- (2)

с) Фігура, обмежена віссю ОХ, прямими x=a, x=b, графіком ф-ції y=f(x), яка на проміжку [a; b] змінює свій знак скінченне число раз: S= S₁ + S₂ +...+ S_n , де S_і=1, n – знаходиться за формулою (1)

г)Фігура, обмежена графіком 2 неперервних ф-цій f(x) і g(x) на [a; b], x=a, x=b. Причому, f(x)≥ g(x) на [a; b] S=

Обчислення площі кривої, заданої параметричними рівняннями

S= , t_1, t ₂ знаходяться з рівняння:

a=x(t_1,), b=x(t_1,)

Обчислення площі в полярній системі координат

Нехай на площині дано т. О (Назвемо її полюсом) і підпряма ОР(полярна вісь) Положення любої т. М на площині можна визначити 2 числами. Числом ρ – що виражає довжину ОМ (радіус-вектор т. М), числом φ – полярним кутом між напрямками полярної осі ОР і радіусом-вектором ОМ. Числа ρ і φ наз. полярними координатами т. М. Якщо ми радіус-вектор будемо вважати додатним, а 0≤ φ≤2π, то кожній т. буде відповідати 1 пара чисел (ρ, φ) і обернено, крім т., де ρ=0, так як φ відповідає любе зн-ня кута φ. Якщо крива, задана в полярних координатах ρ= ρ(φ), то S сектора Р₁ОМ, обмеженої дугою кривої і 2 полярними радіусами О Р₁ і ОМ і відповідає зн-ням кута φ і кута β віразиться інтегралом: S=

2) a) Нехай потрібно обчислити обєм тіла Т, що знаходиться між 2 перпендикулярними до осі Ох площинами x=a, x=b. Припустимо, що відома площа любого перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі ОХ. Ця площа залежить від положення площі перетину, а отже є ф-цією х. Позначимо її через S(х) і припустимо, що вона неперервна на [a; b]. Розібємо [a; b] на n частин точками так, щоб а=х₀ <х₁< х₂<…< х_i-1< х_i<…< х_n=b. І через т. ділення проведемо площини, перепендикулярні до ОХ. Вони розібють все тіло Т на n шарів. Позначимо через ∆V_i обєм 1 шару, що знаходиться між площинами х = х_і-1 і х = х_і. Тоді обєм цього шару ≈ V_{циліндра}, висота якого ∆ х_і = х_і- х_і-1, а основа співпадає з поперечним перерізом тіла якою-небудь площиною х=ε_і, х_і-1< ε_і< х_і. ∆V_i=S(ε_і)∆ х_і.

V=lim

б)Нехай y=f(x) – неперервна на [a; b]. Треба обчислити обєм тіла, утвореного обертанням навколо осі ОХ фігури, обмеженої лініями x=a, x=b, y=f(x), у=0. Так як любий поперечний переріз тіла є круг радіуса r=y, то площа перерізу S(х)=πу².

Тоді V_ox = V_oy =

3)Нехай в прямокутній системі координат дано криву y=f(x). Введемо поняття довжини дуги кривої, що знаходиться між вертикальними прямими x=a, x=b.

Розібємо [a; b] на n частин і через т. ділення проведемо паралельні прямі осі ОУ до перетину з y=f(x). Зєднаємо сусідні т. хордами, довжини яких позначимо ∆l_i. Одержимо ламану лінію, вписану в дугу.

Означення. Довжиною дуги наз. та границя, до якої прямує довжина вписаної ламаної, коли довжина найбільшої її ланки прямує до 0.

L= lim

Доведемо, якщо y=f(x) і у’= f(x) – неперервні, то ця границя існує, і разом з тим буде датий спосіб обчислення довжини кривої.

∆у_і = f(х_і) – F(х_і-1)

∆х_і = х_і - х_і-1

∆l_i = =

L=

L=

L=

L=

76. Невласні інтеграли І роду. Збіжність . Теореми порівняння.

При визначенні визначеного інтегралу ми припускаєм, що ф-ція f(x) неперервна, а а і b – скінченні числа. Якщо порушена хоч би 1 із цих умов, то інтеграл наз. невласним. Є невласні інтеграли І роду – з нескінченними межами інтегрування від неперервних ф-цій; ІІ роду – з скінченними межами інтегрування від розривних ф-цій.

Означення. Нехай ф-ція f(x) визначена на [a; ∞] і інтегровна на любому відрізку [a; t], t>a, тобто існує при любому t>a. Тоді якщо існує границя lim і дор. скінченному числу, то її наз. невласним інтегралом І роду. Позначається - (1), тобто (2).

Якщо в (2) він існує, то кажуть, що (1) збігається. Якщо (2) – не існує або дор. ∞, то кажуть, що (1) – є розбіжним.

Аналогічно введем поняття невласного інтегралу (3)

Інтеграл є збіжним, якщот він існує і дор. скінченному числу. Ні – незбіжний.

(4)

Інтеграл (4) є збіжним, якщо обидва інтеграли в правій частині (4) збіжні, і є розбіжним, якщо хоч би 1 з них є розбіжним.

Теореми порівняння:

Якщо f(x) i g(x) – неперервні на [a; ∞), f(x)≥0 i f(x)≤g(x), то –

1. Якщо - збіжний, то - теж збіжний.

2. Якщо - розбіжний, то - теж розбіжний.

3. Якщо - збіжний, то - збігається абсолютно.

4. Якщо lim = k, 0<k<∞, то i одночасно є збіжними або розбіжними.

77. Невласні інтеграли ІІ роду. Збіжність . Теореми порівняння.

Якщо ф-ція f(x) неперервна на ]a; b], має нескінченний розрив в т. х=а, тобто lim f(x)=±∞, то тоді вважають, що інтеграл , (ε>0) (5)

(5) наз. збіжним, якщо існує скінченна границя в правій частині рівності(5) і наз. розбіжним, якщо дана границя не існує або дор. ∞.

, (ε>0) (6)

Якщо ф-ція f(x) неперервна на [a; b], крім т. с (має нескінченний розрив в т.с) (a≤x<c i c<x≤b), тоді –

(7)

Інтеграл (7) є збіжним, якщо кожний з інтегралів правої частини рівності (7) є збіжним, і розбіжним, якщо хоч би 1 з них інтегралів є розбіжним.

Теореми порівняння.

Якщо ф-ці] f(x) i g(x) неперервні на ]a; b], f(x)≥0, f(x)≤g(x)

1. - збіжний, то і - збіжний.

2. - розбіжний, то і - розбіжний.

3. - збіжний, то і - збіжний.

4. lim 0<K<∞, i - одночасно збіжні чи розбіжні.

Читайте також:

1. B. Тип, структура, зміст уроку і методика його проведення.
2. Demo 11: Access Methods (методи доступу)
3. I. ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
4. II. МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
5. II. Основні закономірності ходу і розгалуження судин великого і малого кіл кровообігу
6. II. Основні засоби
7. II. УЧЕБНЫЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ПОСОБИЯ, ПРАКТИКУМЫ
8. II.3. Основні способи і прийоми досягнення адекватності
9. IV. КЕРІВНИЦТВО, КОНТРОЛЬ І НАДАННЯ ОРГАНІЗАЦІЙНО-МЕТОДИЧНОЇ ДОПОМОГИ ПРАКТИКАНТАМ.
10. IV. Электронное учебно-методическое обеспечение дисциплины.
11. V. ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ ТА МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО ЇХ ВИКОНАННЯ
12. V. Обов'язки методиста кафедри педагогіки

Переглядів: 893