Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Операція імплікації предикатів.

Таблиця № 2.9. Доведення рівносильності різних видів імплікацій.

А

Таблиця № 2.7. Таблиця істинності для операції імплікації висловлень.

Операція імплікації висловлень.

6.1. Ми вже розглянули три операції над висловленнями та предикатами. Кожній з них, певним чином, відповідали частка не чи сполучники: і, або. У математиці досить часто використовуються словосполучення «якщо …, то …», слова «випливає», «слідує» тощо. Розглянемо два висловлення: а=„число 2 просте” і в=„число 2 – парне”. Утворимо з цих двох простих висловлень за допомогою словосполучення «якщо …, то …» або слова «слідує» нове висловлення: „якщо число 2 – просте, то воно парне” або «із того, що число 2 – просте, слідує (випливає), що воно парне». Воно є складеним (Чому?). У математичній логіці таке нове висловлення називають імплікацією (грецьк. Implico– тісно зв'язую) даних висловлень і позначають так: а→b або аÞb. Символічний запис а→b або аÞb читають так: „якщо а, то b”, або „з а слідує (випливає) b”, або „імплікація а і b”, або „а імплікує в b”. Тепер сформулюємо строге математичне означення цієї операції над висловленнями.

Означення: імплікацією двох висловлень а і b називається таке нове висловлення а→b, яке хибне тоді і тільки тоді, коли висловлення а істинне, а висловлення b – хибне, і істинне в усіх інших випадках.

За допомогою таблиці істинності операцію імплікації можна задати так (див. таблицю №2.7.).

 

а в а→b

 

В імплікації а→b висловлення а називають або умовою, або посилкою, або основою імплікації, а висловлення b – висновком або наслідком імплікації. Зв'язок між операцією імплікації та операціями заперечення та диз'юнкції задається за допомогою такої формули: а→b=āÚв.Доведемо її за допомогою таблиці істинності (див. таблицю № 2.8.). Порівнюючи 3 і 5 стовпчики, бачимо, що вони набувають однакових значень істинності при будь-яких наборах значень істинності висловлень а і b.

Розглянемо імплікацію:а→b=„якщо число закінчується на 0, то воно ділиться на 5”.Домовимося називати її даною або прямою імплікацією. Переставивши місцями умову та висновок, одержимо нову імплікацію b→а=„якщо число ділиться на 5, то воно закінчується нулем”. Така імплікація називається оберненою до даної. Замінимо в даній імплікації а→bумову і висновок їх запереченнями. Отримаємо нову імплікацію`ā→b=„якщо число не закінчується на 0, то воно не ділиться на 5”, яку називають імплікацією, протилежною до даної. Поміняємо в останній імплікації місцями умову та висновок. Тоді одержимо імплікацію`в→ā=„якщо число не ділиться на 5, то воно не закінчується нулем”. Цю імплікацію називають імплікацією протилежною до оберненої або оберненою до протилежної. Таким чином, маємо чотири види імплікації: 1) а→b – пряма; 2) b→а – обернена до даної; 3) ā→b - протилежна до прямої; 4)`b→ā - протилежна до оберненої або обернена до протилежної. Виникає запитання: як ці види імплікацій пов’язані між собою? Для виявлення зв'язку між імплікаціями побудуємо таблицю істинності (див. таблицю № 2.9.).

 

а в а→b ` ā ` ā Úв

Таблиця № 2.8. Доведення формули а→b=āÚв.

 

           
     


в `b а →b b→а `а→b `b →а

 

Аналізуючи побудовану таблицю, бачимо, що значення 5-го і 8-го стовпців приймають однакові значення істинності при всіх наборах значень істинності висловлень, що до них входять. Саме тому можна твердити, що справедливі такі рівності: а→b=b→а та b→а=а→b.Таким чином, маємо дві пари рівносильних між собою імплікаційа→b=b→а та b→а=а→b. Це дає змогу визначати істинність не всіх чотирьох імплікацій, а лише двох (по одній із кожної пари), бо істинність двох інших випливатиме із рівносильності пар імплікацій.

6.2. Для того, щоб визначити операцію імплікації предикатів, розглянемо на множині абітурієнтів предикати: А(х): „х – склав всі екзамени” і В(х): „х – набрав прохідний бал”. Як можна назвати предикат „якщо х – склав всі екзамени, то він набрав прохідний бал” – імплікацією заданих предикатів. Отже, приймемо таке означення.

Означення: імплікацією двох предикатів А(х) і В(х), заданих на одній і тій самій множині Х, називається такий новий предикат А(х)®В(х), який визначений на тій самій множині Х і який хибний при всіх тих хÎХ, при яких предикат А(х) – істинний, а предикат В(х) – хибний.

Оскільки при оперуванні із складенимипредикатами доводиться знаходити їх множини істинності, то знайдемо множину істинності предиката А(х)→В(х). Позначимо область визначення предикатів через Х, множину істинності предиката А(х) через ТА, а множину істинності предиката В(х) – через ТВ. Щоб знайти множину істинності предиката А(х)→В(х), тобто ТАВ, можна використати міркування або діаграми Ейлера-Венна. Зазначимо, що міркуваннями множину істинності ТА®В можна знайти, використавши рівність А(х) ®В(х)=Ā(х)ÚВ(х). Отже, маємо: ТА®В =`ТАÈТВ`АÈТВ.

Відомо, що предикат А(х)®В(х) буде хибним для тих значень хєХ, для яких предикат А(х) істинний, а предикат В(х) – хибний, тобто на множині ТАÇТВ =`ТАÈ`ТВ = Т`А È ТВ. Отже, множиною істинності предиката А(х)®В(х) – є об'єднання множини істинності предиката В(х) і доповнення до множини істинності предиката А(х) (див. діаграму № 2.6.).

Діаграма № 2.6. Зображення множини істинності імплікації ТА®В=`ТАÈТВ.

Чи розглядають імплікації в шкільному курсі математики? – так, але найчастіше розглядаються імплікації, які істинні при всіх хÎХ. Прикладами таких предикатів можуть бути такі: „Якщо число закінчується цифрою 5, то воно ділиться на 5”; „Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно паралельні, то такий чотирикутник є паралелограмом”.

 

7. Операція еквіваленції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції еквіваленції.


Читайте також:

  1. VII. Професійна кооперація
  2. Валютна позиція банку та її врахування в бухгалтерських записах за операціями в іноземній валюті
  3. Вивчення оборотності оборотних коштів у зовнішньоторгових операціях.
  4. Визнання доходу за бартерними операціями
  5. Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).
  6. Визначення суми на множині цілих невід’ємних чисел, її існування та єдиність. Операція додавання та її основні властивості (закони).
  7. Використання міжнародних служб фінансової інформації в ділінгових операціях банків
  8. Виробнича операція як об'єкт нормування праці
  9. Виробнича операція як об’єкт нормування праці.
  10. Відображення в обліку нарахування процентів за вкладними (депозитними) операціями
  11. Вплив мультивалютного принципу побудови плану рахунків бухгалтерського обліку на облікову процедуру банків за операціями в іноземній валюті
  12. Господарська операція 1.




Переглядів: 2046

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Диз'юнкція двох предикатів. | Операція еквіваленції висловлень.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.004 сек.