Операція імплікації предикатів.

Таблиця № 2.9. Доведення рівносильності різних видів імплікацій.

Таблиця № 2.7. Таблиця істинності для операції імплікації висловлень.

Операція імплікації висловлень.

6.1. Ми вже розглянули три операції над висловленнями та предикатами. Кожній з них, певним чином, відповідали частка не чи сполучники: і, або. У математиці досить часто використовуються словосполучення «якщо …, то …», слова «випливає», «слідує» тощо. Розглянемо два висловлення: а=„число 2 просте” і в=„число 2 – парне”. Утворимо з цих двох простих висловлень за допомогою словосполучення «якщо …, то …» або слова «слідує» нове висловлення: „якщо число 2 – просте, то воно парне” або «із того, що число 2 – просте, слідує (випливає), що воно парне». Воно є складеним (Чому?). У математичній логіці таке нове висловлення називають імплікацією (грецьк. Implico– тісно зв'язую) даних висловлень і позначають так: а→b або аÞb. Символічний запис а→b або аÞb читають так: „якщо а, то b”, або „з а слідує (випливає) b”, або „імплікація а і b”, або „а імплікує в b”. Тепер сформулюємо строге математичне означення цієї операції над висловленнями.

Означення: імплікацією двох висловлень а і b називається таке нове висловлення а→b, яке хибне тоді і тільки тоді, коли висловлення а істинне, а висловлення b – хибне, і істинне в усіх інших випадках.

За допомогою таблиці істинності операцію імплікації можна задати так (див. таблицю №2.7.).

а	в	а→b

В імплікації а→b висловлення а називають або умовою, або посилкою, або основою імплікації, а висловлення b – висновком або наслідком імплікації. Зв'язок між операцією імплікації та операціями заперечення та диз'юнкції задається за допомогою такої формули: а→b=āÚв.Доведемо її за допомогою таблиці істинності (див. таблицю № 2.8.). Порівнюючи 3 і 5 стовпчики, бачимо, що вони набувають однакових значень істинності при будь-яких наборах значень істинності висловлень а і b.

Розглянемо імплікацію:а→b=„якщо число закінчується на 0, то воно ділиться на 5”.Домовимося називати її даною або прямою імплікацією. Переставивши місцями умову та висновок, одержимо нову імплікацію b→а=„якщо число ділиться на 5, то воно закінчується нулем”. Така імплікація називається оберненою до даної. Замінимо в даній імплікації а→bумову і висновок їх запереченнями. Отримаємо нову імплікацію`ā→b=„якщо число не закінчується на 0, то воно не ділиться на 5”, яку називають імплікацією, протилежною до даної. Поміняємо в останній імплікації місцями умову та висновок. Тоді одержимо імплікацію`в→ā=„якщо число не ділиться на 5, то воно не закінчується нулем”. Цю імплікацію називають імплікацією протилежною до оберненої або оберненою до протилежної. Таким чином, маємо чотири види імплікації: 1) а→b – пряма; 2) b→а – обернена до даної; 3) ā→b - протилежна до прямої; 4)`b→ā - протилежна до оберненої або обернена до протилежної. Виникає запитання: як ці види імплікацій пов’язані між собою? Для виявлення зв'язку між імплікаціями побудуємо таблицю істинності (див. таблицю № 2.9.).

а	в	а→b	` ā	` ā Úв

Таблиця № 2.8. Доведення формули а→b=āÚв.

`а

а →b

b→а

`а→b

`b →а

Аналізуючи побудовану таблицю, бачимо, що значення 5-го і 8-го стовпців приймають однакові значення істинності при всіх наборах значень істинності висловлень, що до них входять. Саме тому можна твердити, що справедливі такі рівності: а→b=b→а та b→а=а→b.Таким чином, маємо дві пари рівносильних між собою імплікаційа→b=b→а та b→а=а→b. Це дає змогу визначати істинність не всіх чотирьох імплікацій, а лише двох (по одній із кожної пари), бо істинність двох інших випливатиме із рівносильності пар імплікацій.

6.2. Для того, щоб визначити операцію імплікації предикатів, розглянемо на множині абітурієнтів предикати: А(х): „х – склав всі екзамени” і В(х): „х – набрав прохідний бал”. Як можна назвати предикат „якщо х – склав всі екзамени, то він набрав прохідний бал” – імплікацією заданих предикатів. Отже, приймемо таке означення.

Означення: імплікацією двох предикатів А(х) і В(х), заданих на одній і тій самій множині Х, називається такий новий предикат А(х)®В(х), який визначений на тій самій множині Х і який хибний при всіх тих хÎХ, при яких предикат А(х) – істинний, а предикат В(х) – хибний.

Оскільки при оперуванні із складенимипредикатами доводиться знаходити їх множини істинності, то знайдемо множину істинності предиката А(х)→В(х). Позначимо область визначення предикатів через Х, множину істинності предиката А(х) через Т_А, а множину істинності предиката В(х) – через Т_В. Щоб знайти множину істинності предиката А(х)→В(х), тобто Т_А→_В, можна використати міркування або діаграми Ейлера-Венна. Зазначимо, що міркуваннями множину істинності Т_А_®_В можна знайти, використавши рівність А(х) ®В(х)=Ā(х)ÚВ(х). Отже, маємо: Т_А_®_В=`Т_АÈТ_В=Т_`_АÈТ_В.

Відомо, що предикат А(х)®В(х) буде хибним для тих значень хєХ, для яких предикат А(х) істинний, а предикат В(х) – хибний, тобто на множині Т_АÇТ_В =`Т_АÈ`Т_В = Т_`_А È Т_В. Отже, множиною істинності предиката А(х)®В(х) – є об'єднання множини істинності предиката В(х) і доповнення до множини істинності предиката А(х) (див. діаграму № 2.6.).

Діаграма № 2.6. Зображення множини істинності імплікації Т_А®_В=`Т_АÈТ_В.

Чи розглядають імплікації в шкільному курсі математики? – так, але найчастіше розглядаються імплікації, які істинні при всіх хÎХ. Прикладами таких предикатів можуть бути такі: „Якщо число закінчується цифрою 5, то воно ділиться на 5”; „Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно паралельні, то такий чотирикутник є паралелограмом”.

7. Операція еквіваленції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції еквіваленції.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Диз'юнкція двох предикатів.	\|	Операція еквіваленції висловлень.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.