• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Способи доведення теорем (дедуктивний, індуктивний, метод від супротивного тощо).

2. Спочатку зазначимо, що довести теорему – це означає встановити логічним шляхом, що завжди, коли виконується властивість А(х) буде виконуватись і властивість В(х). Доведення теорем в математиці проводиться за правилом логіки без будь-яких посилань на наочність та досвід. У математиці існують різні способи доведення теорем, які класифікують по-різному. Серед різних способів доведення теорем зупинимося на характеристиці тих, які найчастіше зустрічаються в шкільному курсі математики. У першу чергу вкажемо на дедуктивний спосіб доведення теорем, сутність якого полягає в тому, що виходячи з умови теореми і використовуючи доведені раніше теореми, ми будуємо ланцюжок міркувань, який дозволяє нам переконатися в справедливості висновків теорем. Покажемо це на прикладі такої теореми «Сума внутрішніх кутів довільного трикутника дорівнює 180°».

Доведення: беремо довільний трикутник (див. малюнок № 2.1.) і проводимо через його вершину пряму, паралельну протилежній стороні (це можна зробити, оскільки доведено, що через точку, поза прямою можна провести пряму, паралельну даній). <1+<2+<3=180°, як сума кутів, які утворюють розгорнутий кут. <1=<4 – як внутрішні різносторонні при паралельних прямих та січній. Аналогічно <3=<5. Тоді рівність <1+<2+<3=180° перетвориться у рівність <4+<2+<5=180°. Отже, сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180°. Теорему доведено.

Сутність індуктивних доведень полягає в тому, що на основі розглянутих кількох окремих випадків ми робимо загальний висновок. Для того, щоб не розглядати всі часткові випадки, в математиці є метод доведення, який називається методом математичної індукції. Він складається з таких етапів: а) перевіряємо твердження для n=1; б) припускаємо істинність твердження при n=k; в) виходячи з припущення пробуємо довести істинність твердження при n=k+1. Тоді дане твердження буде справедливим для будь-якого натурального числа. Проілюструємо сказане на такому прикладі: довести, що добуток двох послідовних натуральних чисел ділиться націло на 2.

Доведення:

1. Перевіримо справедливість твердження для будь-якої пари послідовних натуральних чисел. Дійсно, добуток 1•2=2, а 2 кратне 2. Отже, для n=1 і n=2 твердження справедливе.

2. Припустимо, що твердження справедливе для будь-якої пари послідовних натуральних чисел n і n+1, тобто n(n+1)2.

3. Спробуємо довести справедливість твердження для n=k+1. Утворимо добуток (n+1)(n+2) і розкриємо другу дужку. Отримуємо (n+1)n+2(n+1). У цій сумі перший доданок (n+1)n ділиться націло на 2 згідно припущення, а другий доданок 2(n+1) ділиться націло на 2 згідно теореми про подільність добутку. Таким чином, кожен доданок суми ділиться на 2, а тому і сума (n+1)n+2(n+1)=(n+1)(n+2) поділиться націло на 2. Отже, теорему доведено.

Малюнок № 2.1.

Наступним способом доведень є спосіб доведення від супротивного, сутність якого полягає в тому, що ми заперечуємо висновок теореми і пробуємо це довести. В результаті ми приходимо до суперечності із умовою теореми або з доведеним раніше твердженням. Найбільш часто цей спосіб доведення використовують при доведенні теорем єдиності. Покажемо це на такому прикладі: якщо різниця двох дійсних чисел існує, то вона єдина.

Доведення: нехай нам дано два дійсних числа а,вєR. Згідно означення різниці число а-в=сєR. Припустимо, що різниця двох дійсних чисел не єдина. Нехай існують дві різних різниці, тобто: а-b=с₁ і а-b=с₂, причому с₁≠с₂. Звідси маємо а=b+с₁ і а=b+с₂, тобто b+с₁=b+с₂, а тепер с₁=с₂, що суперечить вибору чисел с₁ і с₂. Ця суперечність говорить, що наше припущення про неєдиність різниці було хибним. Таким чином, якщо різниця існує, то вона єдина. Теорему доведено.

Читайте також:

1. D) методу мозкового штурму.
2. H) інноваційний менеджмент – це сукупність організаційно-економічних методів управління всіма стадіями інноваційного процесу.
3. I Метод Шеннона-Фано
4. I. Метод рiвних вiдрiзкiв.
5. VII. Нахождение общего решения методом характеристик
6. А. науковий факт, b. гіпотеза, с. метод
7. Автоматизація водорозподілу на відкритих зрошувальних системах. Методи керування водорозподілом. Вимірювання рівня води. Вимірювання витрати.
8. Агрегативна стійкість, коагуляція суспензій. Методи отримання.
9. АгротехнІЧНИЙ метод
10. Адаптовані й специфічні методи дослідження у журналістикознавстві
11. Адміністративні (прямі) методи регулювання.
12. Адміністративні методи - це сукупність прийомів, впливів, заснованих на використанні об'єктивних організаційних відносин між людьми та загальноорганізаційних принципів управління.

Переглядів: 3200