Із доведеної теореми випливає, що, по-перше, існують відрізки, довжина яких не виражається раціональним числом, по-друге, не існує раціонального числа, квадрат якого дорівнює 2, тобто рівняння х2=2 в множині раціональних чисел немає розв'язку. Отже виникає потреба в розширенні множини раціональних чисел, причому повинні виконуватися наступні вимоги: 1) довжина будь-якого відрізка повинна виражатися цим числом; 2) у новій числовій множині завжди повинно мати розв'язок рівняння виду хn=а, де а0; 3) множина раціональних чисел повинна входити в нову числову множину.