• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Малюнок № 1.19. Задання декартового добутку множин за допомогою графа.

Властивості 1-7 доводяться за допомогою міркувань. Покажемо це на прикладі останньої властивості. У першій частині доведемо, що кожен елемент лівої частини, яка складається із впорядкованих пар, належить правій частині. Нехай пара (х;у)ÎА´(В\С). Згідно означення декартового добутку це означає, що хÎА і уÎВ\С. Якщо уÎВ\С, то за означенням різниці множин уÎВ і уÏС. Оскільки хÎА і уÎВ, то за означенням декартового добутку множин (х,у)ÎА´В. Оскільки хÎА і уÏС, то (х,у)ÏА´С. Якщо (х,у)ÎА´В і (х,у)ÏА´С, то згідно з означенням операції різниці множин (х,у)Î(А´В)\(А´С), тобто правій частині. Пару (х,у) у лівій частині ми вибирали довільно, а тому наші міркування можна повторити відносно будь-якої пари, що належить лівій частині. Таким чином, множина А´(В\С) є підмножиною множини (А´В)\(А´С), тобто А´(В\С)Ì(А´В)\(А´С). Отже, першу частину доведено.

У другій частині доведемо, що кожен елемент правої частини є елементом лівої. Нехай пара (а;в)Î(А´В)\(А´С). Згідно означення різниці, (а;в)Î(А´В) і (а;в)Ï(А´С). Звідси аÎА і вÏС. Якщо (а;в)Î(А´В), то за означенням декартового добутку множин аÎА і вÎВ. Оскільки вÎВ і вÏС, то за означенням різниці множин вÎВ\С. Якщо аÎА і вÎВ\С, то за означенням декартового добутку множин (а;в)ÎА´(В\С), тобто лівій частині. Пару (а;в) у правій частині ми вибирали довільно, а тому наші міркування можна повторити відносно будь-якої пари, що належить правій частині. Таким чином, множина (А´В)\(А´С) є підмножиною множини А´(В\С), тобто (А´В)\(А´С)ÌА´(В\С). Отже, другу частину доведено.

Таким чином, у першій частині ми довели, що (А´(В\С))Ì((А´В)\(А´С)), а у другій – ((А´В)\(А´С))Ì(А´(В\С)). Звідси на основі означення рівності множин маємо рівність А´(В\С)=(А´В)\(А´С), тобто справедливість властивості доведено повністю.

Спробуємо знайти залежність, яка б допомогла шукати число елементів декартового добутку множин, якщо відомо число елементів вихідних множин. Нехай А={1, 2, 3} і В={а, в}. Утворимо множину А´В={(1;а ), (1;в), (2;в), (3;а), (3;в)}. Легко бачити, що n(А)=3, n(В)=2 і n(А´В)=6, тобто n(А´В)=n(А)·n(В). У математиці для загального випадку доведено теорему: „Число елементів декартового добутку множин А₁, А₂, А_3, ... ,А_к, що мають відповідно n_1, n_2, n_3,...,n_k елементів дорівнює добутку чисельностей цих множин, тобто n(А₁´А₂´А₃´…´А_к)=n(А₁)n(А₂)n(А₃)…n(А_к)=n_1,n_2,n_3, ..., n_k”.

Як же визначити число елементів об’єднання двох скінченних множин? Для цього доведеться розглядати два випадки: 1) множини А і В не мають спільних множин, тобто АÇВ=Æ; 2) множини А і В мають спільні елементи, тобто АÇВ¹Æ. У першому випадку використовується формула n(АÈВ)=n(А)+n(В), а в другому - n(АÈВ)=n(А)+n(В)–n(АÈВ). Чи можна поширити ці формули на будь-яке число елементів? – математика дає на це ствердну відповідь, тобто справедлива формула: n(А₁ÈА₂ÈА₃È...ÈА_к)=n(А₁)+n(А₂)+n(А₃)+...+n(А_к), коли множини попарно не перетинаються.

Читайте також:

1. Алгебра множин
2. Аналіз економічноїї політики за допомогою моделі Мандела-Флемінга. Випадки вільного та фіксованого валютного курсів.
3. Аналіз цін конкурентів проводиться за допомогою
4. Бюджетні множини й лінії бюджетного обмеження
5. В якій камері утворюється малюнок у сирі швейцарському?
6. Вертикальне наведення.Вертикальне наведення виконується за допомогою прицілу, бічного рівня і підйомного механізму.
7. Вибір кращих альтернатив за допомогою бінарних відношень
8. Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).
9. Визначення множини допустимих планів задачі ЛП
10. Визначення розміру полів за допомогою розбиття статті на 9 рівних частин
11. Визначення скалярного добутку через координати.
12. Визначення суми на множині цілих невід’ємних чисел, її існування та єдиність. Операція додавання та її основні властивості (закони).

Переглядів: 806